ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.7 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дана призма \(ABCA_1B_1C_1\) (см. рис. 3.10).

Найдите разность векторов:

1) \(\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC}\);

2) \(\overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{BC_1}\);

3) \(\overrightarrow{BA} — \overrightarrow{B_1C_1}\).

Вектор \(\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC}\) равен вектору \(\overrightarrow{CB}\), так как это разность двух векторов с общим началом \(A\).

Вектор \(\overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{BC_1}\) равен вектору \(\overrightarrow{C_1 B_1}\), так как \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{B B_1}\) и \(\overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{B C_1}\).

Вектор \(\overrightarrow{BA} — \overrightarrow{B_1C_1}\) равен вектору \(\overrightarrow{C A_1}\), так как \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{B_1C_1} = \overrightarrow{C A_1}\).

Вектор \(\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC}\) можно представить как сложение вектора \(\overrightarrow{AB}\) и противоположного вектора \(\overrightarrow{AC}\). Поскольку оба вектора начинаются в точке \(A\), разность равна вектору, который идет от конца вектора \(\overrightarrow{AC}\) к концу вектора \(\overrightarrow{AB}\). Таким образом, \(\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}\), где \(C\) и \(B\) — концы векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AB}\) соответственно. Это можно понять, если мысленно переместить вектор \(\overrightarrow{AC}\) так, чтобы его начало совпало с началом вектора \(\overrightarrow{AB}\), после чего разность векторов будет направлена от точки \(C\) к точке \(B\).

Для вектора \(\overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{BC_1}\) важно отметить, что в призме векторы \(\overrightarrow{AA_1}\) и \(\overrightarrow{BB_1}\) равны по длине и направлению, так как они являются ребрами, параллельными друг другу и перпендикулярными основанию. Поскольку \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1}\), то \(\overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{BB_1} — \overrightarrow{BC_1}\). Вектор \(\overrightarrow{BC_1}\) можно представить как сумму векторов \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CC_1}\), при этом \(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AA_1}\). Следовательно, разность равна вектору \(\overrightarrow{C_1 B_1}\), направленному от \(C_1\) к \(B_1\).

В случае с вектором \(\overrightarrow{BA} — \overrightarrow{B_1 C_1}\) сначала заметим, что \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\), то есть вектор \(\overrightarrow{BA}\) направлен от \(B\) к \(A\). Вектор \(\overrightarrow{B_1 C_1}\) лежит в верхнем основании призмы и параллелен основанию. Разность \(\overrightarrow{BA} — \overrightarrow{B_1 C_1}\) можно представить как сумму векторов \(\overrightarrow{BA}\) и \(-\overrightarrow{B_1 C_1}\). Поскольку верхнее основание параллельно нижнему, и ребра \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) параллельны, то эта разность равна вектору \(\overrightarrow{C A_1}\), направленному от \(C\) к \(A_1\), что соответствует диагонали призмы, соединяющей вершину нижнего основания с вершиной верхнего основания.