ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.8 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите разность векторов:

1) \(\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{DC}\);

2) \(\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{DD_1}\).

1) \(\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{C_1 C}\).

2) \(\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{A_1 C}\).

1) Рассмотрим векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\) в кубе \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Эти векторы лежат в основании куба и параллельны друг другу, так как ребра куба параллельны и равны по длине. Вектор \(\overrightarrow{AB}\) направлен от точки \(A\) к точке \(B\), а вектор \(\overrightarrow{DC}\) — от точки \(D\) к точке \(C\). При этом, если представить куб в пространстве, то вектор \(\overrightarrow{DC}\) направлен в сторону, противоположную \(\overrightarrow{AB}\), то есть \(\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{AB}\).

Следовательно, разность векторов равна сумме \(\overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{DC}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AB}\). Однако, в условии требуется найти именно разность, учитывая направление и расположение векторов. Так как \(\overrightarrow{DC}\) направлен в сторону, противоположную \(\overrightarrow{AB}\), то \(\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}\). Вектор \(\overrightarrow{CD}\) равен \(\overrightarrow{C_1 C}\) по модулю и направлению, так как ребро \(CC_1\) вертикальное, и \(C_1 C\) — его обратный вектор. В итоге разность равна вектору \(\overrightarrow{C_1 C}\).

2) Для векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{DD_1}\) ситуация иная. Вектор \(\overrightarrow{AC}\) — диагональ основания куба, направленная от \(A\) к \(C\). Вектор \(\overrightarrow{DD_1}\) — ребро высоты куба, направленное вертикально вверх от \(D\) к \(D_1\). При вычитании \(\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{DD_1}\) мы фактически складываем вектор \(\overrightarrow{AC}\) с вектором, направленным вниз от \(D_1\) к \(D\), то есть с \(-\overrightarrow{DD_1}\).

Так как \(A_1\) — вершина, лежащая над \(A\) на высоте ребра куба, а \(C\) — вершина основания, то вектор \(\overrightarrow{A_1 C}\) можно представить как сумму \(\overrightarrow{A A_1} + \overrightarrow{A C}\), где \(\overrightarrow{A A_1} = \overrightarrow{D D_1}\) (по длине и направлению). Тогда \(\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{A C} + (-\overrightarrow{D D_1}) = \overrightarrow{A_1 C}\).

Таким образом, разность этих векторов равна вектору, направленному от верхней вершины \(A_1\) к основанию в точке \(C\).