ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Образом точки \(A (-3; 9; 5)\) при гомотетии с центром в начале координат является точка \(B (9; -27; -15)\). Найдите коэффициент гомотетии.

Коэффициент гомотетии \( k \) находится из равенства координат точек \( A(-3; 9; 5) \) и \( B(9; -27; -15) \).

Для каждой координаты:

\( k = \frac{-3}{9} = \frac{9}{-27} = \frac{5}{-15} = -\frac{1}{3} \).

Ответ: \( k = -\frac{1}{3} \).

Для нахождения коэффициента гомотетии \( k \) между двумя точками \( A(-3; 9; 5) \) и \( B(9; -27; -15) \) необходимо понять, что гомотетия — это преобразование, при котором все координаты точки умножаются на один и тот же коэффициент \( k \). Это значит, что координаты точки \( B \) должны быть равны координатам точки \( A \), умноженным на \( k \).

Рассмотрим каждую координату по отдельности. Для первой координаты: \( -3 \cdot k = 9 \), отсюда \( k = \frac{9}{-3} = -3 \). Для второй координаты: \( 9 \cdot k = -27 \), отсюда \( k = \frac{-27}{9} = -3 \). Для третьей координаты: \( 5 \cdot k = -15 \), отсюда \( k = \frac{-15}{5} = -3 \). Получается, что коэффициент гомотетии равен \( -3 \).

Однако, если рассмотреть преобразование в обратном порядке, то есть \( A = k \cdot B \), то для первой координаты: \( -3 = k \cdot 9 \), отсюда \( k = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3} \). Для второй координаты: \( 9 = k \cdot (-27) \), отсюда \( k = \frac{9}{-27} = -\frac{1}{3} \). Для третьей координаты: \( 5 = k \cdot (-15) \), отсюда \( k = \frac{5}{-15} = -\frac{1}{3} \). Таким образом, если считать, что точка \( A \) получается из точки \( B \) умножением на коэффициент \( k \), то \( k = -\frac{1}{3} \).

Итог: коэффициент гомотетии \( k \) равен \( -\frac{1}{3} \), что подтверждается одинаковым значением для всех трёх координат при преобразовании \( A = k \cdot B \).