ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите координаты образа точки \(A (20; -35; -55)\) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом гомотетии \(k = \frac{3}{5}\).

Координаты точки \(A (20; -35; -55)\) умножаем на коэффициент гомотетии \(k = \frac{3}{5}\).

Вычисляем:
\(x’ = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12\),
\(y’ = -35 \cdot \frac{3}{5} = -21\),
\(z’ = -55 \cdot \frac{3}{5} = -33\).

Получаем образ точки \(A'(12; -21; -33)\).

Гомотетия — это преобразование, при котором все точки пространства смещаются относительно центра гомотетии, сохраняя направление и изменяя расстояния пропорционально коэффициенту \(k\). В данном случае центр гомотетии находится в начале координат, а коэффициент равен \(k = \frac{3}{5}\). Это значит, что каждая координата исходной точки умножается на этот коэффициент, что позволяет найти координаты образа точки после преобразования.

Исходная точка \(A\) имеет координаты \( (20; -35; -55) \). Для нахождения координат образа \(A’\) при гомотетии нужно каждую координату умножить на коэффициент \(k\). Для координаты \(x\) вычисляем \(x’ = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12\). Аналогично для координаты \(y\) получаем \(y’ = -35 \cdot \frac{3}{5} = -21\), а для координаты \(z\) — \(z’ = -55 \cdot \frac{3}{5} = -33\).

Таким образом, координаты образа точки \(A’\) будут равны \( (12; -21; -33) \). Это означает, что точка сместилась ближе к началу координат, так как коэффициент меньше единицы, и её координаты уменьшились в соответствии с этим коэффициентом. Данное преобразование сохраняет направление вектора, исходящего из начала координат, но изменяет длину вектора пропорционально коэффициенту гомотетии.