ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите значения \(x\) и \(y\), при которых векторы \(\vec{a} (x; y; 2)\) и \(\vec{b} (-2; 3; 1)\) будут коллинеарны.

Для коллинеарности векторов \(\vec{a}(x; y; 2)\) и \(\vec{b}(-2; 3; 1)\) должно существовать \(\lambda\), при котором \(x = \lambda \cdot (-2)\), \(y = \lambda \cdot 3\), \(2 = \lambda \cdot 1\).

Из последнего уравнения находим \(\lambda = 2\).

Подставляем в первые уравнения: \(x = 2 \cdot (-2) = -4\), \(y = 2 \cdot 3 = 6\).

Ответ: \(x = -4\), \(y = 6\).

Векторы \(\vec{a}(x; y; 2)\) и \(\vec{b}(-2; 3; 1)\) будут коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них можно представить как скалярное произведение другого на некоторое число \(\lambda\). Это означает, что все координаты вектора \(\vec{a}\) связаны с координатами вектора \(\vec{b}\) через одно и то же число \(\lambda\). Запишем это условие: \(x = \lambda \cdot (-2)\), \(y = \lambda \cdot 3\), \(2 = \lambda \cdot 1\).

Для нахождения \(\lambda\) используем третье уравнение, так как оно содержит только одно неизвестное: \(2 = \lambda \cdot 1\). Отсюда \(\lambda = 2\). Значение \(\lambda\) показывает, во сколько раз координаты вектора \(\vec{b}\) надо умножить, чтобы получить соответствующие координаты вектора \(\vec{a}\). Теперь подставим найденное значение \(\lambda\) в первые два уравнения: \(x = 2 \cdot (-2) = -4\) и \(y = 2 \cdot 3 = 6\).

Таким образом, при \(x = -4\) и \(y = 6\) векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) будут коллинеарны, так как координаты \(\vec{a}\) равны координатам \(\vec{b}\), умноженным на одно и то же число \(\lambda = 2\). Это полностью соответствует условию коллинеарности, и решение совпадает с приведённым на фото.