ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите значения \(x\) и \(z\), при которых векторы \(\vec{m} (-1; 7; 2)\) и \(\vec{n} (x; 4; 5)\) будут коллинеарны.

Для коллинеарности векторов \(\vec{m}(-1; 7; 2)\) и \(\vec{n}(x; 4; 5)\) должно выполняться равенство \(\frac{-1}{x} = \frac{7}{4} = \frac{z}{5}\).

Из первого равенства получаем \(7x = -4\), следовательно \(x = -\frac{4}{7}\).

Из второго равенства \(4z = 35\), следовательно \(z = \frac{35}{4}\).

Для того чтобы два вектора \(\vec{m}(-1; 7; z)\) и \(\vec{n}(x; 4; 5)\) были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны. Это означает, что отношение соответствующих координат должно быть одинаковым, то есть выполняется равенство \( \frac{-1}{x} = \frac{7}{4} = \frac{z}{5} \).

Рассмотрим первое равенство \( \frac{-1}{x} = \frac{7}{4} \). Перемножая крест-накрест, получаем уравнение \( 7x = -4 \). Отсюда находим \( x = -\frac{4}{7} \). Это значение показывает, какой должна быть первая координата второго вектора, чтобы сохранить пропорциональность с первой координатой первого вектора.

Далее рассмотрим второе равенство \( \frac{7}{4} = \frac{z}{5} \). Аналогично перемножаем крест-накрест: \( 4z = 35 \). Отсюда находим \( z = \frac{35}{4} \). Это значение определяет третью координату первого вектора, чтобы она была пропорциональна третьей координате второго вектора. Таким образом, при \( x = -\frac{4}{7} \) и \( z = \frac{35}{4} \) векторы будут коллинеарны.