ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан вектор \(\vec{a} (3; 2; 1)\). Найдите коллинеарный ему вектор \(\overrightarrow{AB}\), если \(A (1; 1; 1)\), а точка \(B\) принадлежит плоскости \(yz\).

Дан вектор \(\vec{a} = (3; 2; 1)\) и точки \(A(1; 1; 1)\), \(B(0; y; z)\).

Вектор \(\overrightarrow{AB} = (-1; y-1; z-1)\).

Поскольку \(\overrightarrow{AB}\) коллинеарен \(\vec{a}\), существует \(\lambda\), что \(\frac{-1}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{1}\).

Решаем уравнения: \(3y — 3 = 2\), откуда \(3y = 5\) и \(y = \frac{5}{3}\), а \(3z — 3 = 1\), откуда \(3z = 4\) и \(z = \frac{4}{3}\).

Проверим по фото: там \(y = \frac{1}{3}\), \(z = \frac{2}{3}\), значит надо исправить.

Исправляем: \(\frac{3}{-1} = \frac{2}{y-1} = \frac{1}{z-1}\).

Из первого равенства \(3y — 3 = -2\), значит \(3y = 1\), \(y = \frac{1}{3}\).

Из второго равенства \(3z — 3 = -1\), значит \(3z = 2\), \(z = \frac{2}{3}\).

Ответ: \(B(0; \frac{1}{3}; \frac{2}{3})\).

Дан вектор \(\vec{a} = (3; 2; 1)\) и точка \(A(1; 1; 1)\). Требуется найти коллинеарный вектор \(\overrightarrow{AB}\), при этом точка \(B\) принадлежит плоскости \(yz\). Плоскость \(yz\) задаётся условием, что абсцисса \(x=0\), значит координата \(x\) точки \(B\) равна нулю, то есть \(B = (0; y; z)\).

Вектор \(\overrightarrow{AB}\) можно выразить через координаты точек \(A\) и \(B\) как разность координат: \(\overrightarrow{AB} = (0 — 1; y — 1; z — 1) = (-1; y — 1; z — 1)\). Поскольку \(\overrightarrow{AB}\) должен быть коллинеарен вектору \(\vec{a}\), существует такое число \(\lambda\), что \(\overrightarrow{AB} = \lambda \vec{a}\). Это означает, что компоненты векторов пропорциональны:

\[
\frac{-1}{3} = \frac{y — 1}{2} = \frac{z — 1}{1}.
\]

Из этих равенств можно составить систему уравнений:

1) \(\frac{-1}{3} = \frac{y — 1}{2}\), откуда \(2 \cdot (-1) = 3(y — 1)\), или \( -2 = 3y — 3\). Переносим -3 вправо: \(3y = 1\), значит \(y = \frac{1}{3}\).

2) \(\frac{-1}{3} = \frac{z — 1}{1}\), откуда \(z — 1 = -\frac{1}{3}\), значит \(z = 1 — \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).

Проверяем полученные значения: \(y = \frac{1}{3}\), \(z = \frac{2}{3}\), и \(x=0\), что удовлетворяет условию принадлежности точки \(B\) плоскости \(yz\).

Итоговая точка \(B\) имеет координаты:

\[
B\left(0; \frac{1}{3}; \frac{2}{3}\right).
\]

Таким образом, вектор \(\overrightarrow{AB} = (-1; \frac{1}{3} — 1; \frac{2}{3} — 1) = (-1; -\frac{2}{3}; -\frac{1}{3})\) коллинеарен вектору \(\vec{a} = (3; 2; 1)\), так как \(\overrightarrow{AB} = -\frac{1}{3} \vec{a}\).

Ответ: \(B\left(0; \frac{1}{3}; \frac{2}{3}\right)\).