ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны точки \(A (-3; 6; 4)\), \(B (6; -1; 2)\), \(C (0; 3; -2)\). Найдите точку \(D\), принадлежащую плоскости \(xz\), такую, что \(\overrightarrow{AD} \perp \overrightarrow{BC}\).

Даны точки \(A(-3;6;4)\), \(B(6;-1;2)\), \(C(0;3;-2)\).

Вычисляем вектор \(\overrightarrow{BC} = (-6;4;-4)\).

Точка \(D\) лежит в плоскости \(xz\), значит \(D=(x;0;z)\).

Вектор \(\overrightarrow{AD} = (x+3;-6;z-4)\).

Условие перпендикулярности: \(\frac{-6}{x+3} = \frac{4}{-6} = \frac{-4}{z-4} = -\frac{2}{3}\).

Решаем уравнения:

\(-6 = -\frac{2}{3}(x+3) \Rightarrow -2x = -12 \Rightarrow x=6\),

\(-4 = -\frac{2}{3}(z-4) \Rightarrow -2z = -20 \Rightarrow z=10\).

Точка \(D\) равна \((6;0;10)\).

Даны точки \(A(-3;6;4)\), \(B(6;-1;2)\), \(C(0;3;-2)\). Сначала находим вектор \(\overrightarrow{BC}\), который равен разности координат точки \(C\) и точки \(B\): \(\overrightarrow{BC} = (0 — 6; 3 — (-1); -2 — 2) = (-6; 4; -4)\). Этот вектор показывает направление от точки \(B\) к точке \(C\).

Пусть точка \(D\) лежит в плоскости \(xz\), значит её координата по оси \(y\) равна нулю, то есть \(D = (x; 0; z)\). Тогда вектор \(\overrightarrow{AD}\), направленный от точки \(A\) к точке \(D\), будет равен разности координат: \(\overrightarrow{AD} = (x — (-3); 0 — 6; z — 4) = (x + 3; -6; z — 4)\). Чтобы векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC}\) были перпендикулярны, необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Для нахождения условия перпендикулярности используем соотношение направляющих векторов. Из условия перпендикулярности следует, что отношения соответствующих компонент векторов связаны равенством \(\frac{-6}{x+3} = \frac{4}{-6} = \frac{-4}{z-4} = -\frac{2}{3}\). Из первого равенства получаем уравнение \(-6 = -\frac{2}{3}(x + 3)\), которое после умножения обеих частей на \(-3\) даёт \(18 = 2(x + 3)\), откуда \(2x = 12\) и \(x = 6\). Аналогично из второго равенства \(-4 = -\frac{2}{3}(z — 4)\) после умножения на \(-3\) получаем \(12 = 2(z — 4)\), откуда \(2z = 20\) и \(z = 10\).

Таким образом, координаты точки \(D\), удовлетворяющей условию принадлежности плоскости \(xz\) и перпендикулярности векторов \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC}\), равны \(D = (6; 0; 10)\).