ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дано: \(\vec{m} \uparrow\uparrow \vec{n}\), \(|\vec{m}| = 5\sqrt{6}\), \(\vec{n} (1; -1; 2)\). Найдите координаты вектора \(\vec{m}\).

Длина вектора \(\vec{n}\) равна \(\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}\).

Так как \(\vec{m}\) коллинеарен \(\vec{n}\), то \(\vec{m} = k \vec{n} = k(1; -1; 2)\).

Длина \(\vec{m}\) равна \(|k| \cdot \sqrt{6} = 5\sqrt{6}\), откуда \(k = \pm 5\).

Координаты \(\vec{m}\) равны \( (5; -5; 10) \) или \( (-5; 5; -10) \).

Для начала вычислим длину вектора \(\vec{n}\), используя формулу длины вектора в трёхмерном пространстве: \( |\vec{n}| = \sqrt{n_x^2 + n_y^2 + n_z^2} \). Подставляя координаты вектора \(\vec{n} = (1; -1; 2)\), получаем \( |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \). Эта величина показывает, насколько длинен вектор \(\vec{n}\) в пространстве.

Поскольку векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) коллинеарны, то есть направлены вдоль одной прямой, вектор \(\vec{m}\) можно представить как произведение некоторого скалярного множителя \(k\) на вектор \(\vec{n}\): \(\vec{m} = k \vec{n} = k(1; -1; 2)\). Это означает, что координаты вектора \(\vec{m}\) пропорциональны координатам \(\vec{n}\), но масштабированы числом \(k\).

Далее используем условие длины вектора \(\vec{m}\), которое равно \(5 \sqrt{6}\). По формуле длины вектора имеем \( |\vec{m}| = |k| \cdot |\vec{n}| \). Подставляя известные значения, получаем \( |k| \cdot \sqrt{6} = 5 \sqrt{6} \). Делим обе части уравнения на \(\sqrt{6}\) и находим \( |k| = 5 \). Значит, \(k\) может быть либо \(5\), либо \(-5\). Тогда координаты вектора \(\vec{m}\) будут равны либо \( (5; -5; 10) \), либо \( (-5; 5; -10) \), что соответствует коллинеарности и заданной длине.