ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Лежат ли на одной прямой точки:
1) \(A (5; 6; -4)\), \(B (7; 8; 2)\) и \(C (3; 4; 14)\);
2) \(D (-1; -7; -8)\), \(E (0; -4; -4)\) и \(F (2; 2; 4)\)?

Вычисляем векторы \(\overrightarrow{AB} = (7-5, 8-6, 2+4) = (2, 2, 6)\) и \(\overrightarrow{BC} = (3-7, 4-8, 14-2) = (-4, -4, 12)\).

Проверяем пропорциональность: \(\frac{2}{-4} \neq \frac{6}{12}\), значит точки \(A, B, C\) не лежат на одной прямой.

Вычисляем векторы \(\overrightarrow{DE} = (0+1, -4+7, -4+8) = (1, 3, 4)\) и \(\overrightarrow{EF} = (2-0, 2+4, 4+4) = (2, 6, 8)\).

Проверяем пропорциональность: \(\frac{1}{2} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8}\), значит точки \(D, E, F\) лежат на одной прямой.

Для проверки, лежат ли три точки на одной прямой, необходимо проверить, являются ли векторы, образованные этими точками, коллинеарными, то есть пропорциональными. Начинаем с точек \(A(5; 6; -4)\), \(B(7; 8; 2)\), \(C(3; 4; 14)\). Сначала находим вектор \(\overrightarrow{AB}\), вычитая координаты точки \(A\) из координат точки \(B\): \(\overrightarrow{AB} = (7-5, 8-6, 2-(-4)) = (2, 2, 6)\). Затем вычисляем вектор \(\overrightarrow{BC}\) аналогичным способом: \(\overrightarrow{BC} = (3-7, 4-8, 14-2) = (-4, -4, 12)\).

Для того чтобы векторы были коллинеарными, их координаты должны быть пропорциональны, то есть должны существовать такие числа \(k\), что \(2 = k \cdot (-4)\), \(2 = k \cdot (-4)\), \(6 = k \cdot 12\). Рассчитаем отношение соответствующих координат: \(\frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}\), \(\frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). Так как \(-\frac{1}{2} \neq \frac{1}{2}\), векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) не пропорциональны, следовательно, точки \(A\), \(B\), \(C\) не лежат на одной прямой.

Рассмотрим теперь точки \(D(-1; -7; -8)\), \(E(0; -4; -4)\), \(F(2; 2; 4)\). Аналогично вычисляем векторы: \(\overrightarrow{DE} = (0 — (-1), -4 — (-7), -4 — (-8)) = (1, 3, 4)\) и \(\overrightarrow{EF} = (2 — 0, 2 — (-4), 4 — (-4)) = (2, 6, 8)\). Проверяем пропорциональность координат: \(\frac{1}{2} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\). Все отношения равны, значит векторы коллинеарны, и точки \(D\), \(E\), \(F\) лежат на одной прямой.