ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \(A\), \(B\) и \(C\) таковы, что \(\overrightarrow{AB} (10; 15; -5)\) и \(\overrightarrow{AC} (-6; y; z)\). При каких значениях \(y\) и \(z\) точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на одной прямой?

Векторы \( \overrightarrow{AB} = (10; 15; -5) \) и \( \overrightarrow{AC} = (-6; y; z) \) коллинеарны, если существует число \( k \), при котором \( \overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB} \).

Из уравнения \( -6 = 10k \) находим \( k = -\frac{3}{5} \).

Подставляем в остальные координаты: \( y = 15k = 15 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -9 \), \( z = -5k = -5 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = 3 \).

Ответ: \( y = -9 \), \( z = 3 \).

Для того чтобы точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежали на одной прямой, векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \) должны быть коллинеарны. Это означает, что один из векторов можно представить как скалярное умножение другого, то есть существует число \( k \), такое что \( \overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB} \). В данном случае даны векторы \( \overrightarrow{AB} = (10; 15; -5) \) и \( \overrightarrow{AC} = (-6; y; z) \).

Для нахождения \( k \) используем первую координату: \( -6 = 10k \). Отсюда получаем \( k = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5} \). Значение \( k \) показывает, во сколько раз и в каком направлении вектор \( \overrightarrow{AB} \) нужно умножить, чтобы получить вектор \( \overrightarrow{AC} \). Если это число одинаково для всех координат, то векторы действительно коллинеарны.

Теперь подставим найденное \( k \) во вторую и третью координаты. Для второй координаты: \( y = 15k = 15 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -9 \). Для третьей координаты: \( z = -5k = -5 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = 3 \). Таким образом, при \( y = -9 \) и \( z = 3 \) векторы коллинеарны, а значит точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на одной прямой.