ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(E\) — середина ребра \(CC_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Выразите вектор \(\overrightarrow{AE}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\).\), \(B\) и \(C\) лежат на одной прямой?

Точка \(E\) — середина ребра \(CC_1\), значит \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CC_1}\).

Вектор \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\).

Вектор \(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AA_1}\).

Следовательно, \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1}\).

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) вершины \(A, B, C, D\) лежат в основании, а вершины с индексом 1 — в верхнем основании. Вектор \(\overrightarrow{AB}\) направлен от \(A\) к \(B\), вектор \(\overrightarrow{AD}\) — от \(A\) к \(D\), а вектор \(\overrightarrow{AA_1}\) — от \(A\) к \(A_1\), который показывает высоту куба. Точка \(C\) находится на пересечении направлений \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\), поэтому вектор \(\overrightarrow{AC}\) равен сумме двух векторов основания: \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \).

Ребро \(CC_1\) параллельно ребру \(AA_1\), так как \(C_1\) — это вершина, расположенная над \(C\) на высоте куба. Значит вектор \(\overrightarrow{CC_1}\) равен вектору \(\overrightarrow{AA_1}\). Поскольку точка \(E\) — середина ребра \(CC_1\), то её векторное положение относительно \(A\) можно выразить как сумму вектора до \(C\) и половины вектора ребра \(CC_1\): \( \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CC_1} \).

Подставив значения, получаем \( \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1} \). Это выражение показывает, что для нахождения вектора \(\overrightarrow{AE}\) достаточно сложить векторы основания куба и добавить половину вектора высоты, так как \(E\) находится посередине ребра, соединяющего вершины основания и верхнего основания.