ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точка \(M\) — середина ребра \(A_1B_1\), точка \(K\) — середина ребра \(CC_1\). Выразите вектор \(\overrightarrow{MK}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\).

Точка \(M\) — середина \(A_1B_1\), значит \(M = A + \overrightarrow{AA_1} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).

Точка \(K\) — середина \(CC_1\), значит \(K = A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}\).

Вектор \(\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{K} — \overrightarrow{M} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{AA_1} — \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).

Упрощая, получаем \(\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} — \frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}\).

Точка \(M\) является серединой ребра \(A_1B_1\), поэтому её координаты можно найти как среднее арифметическое координат точек \(A_1\) и \(B_1\). Вектор \(A_1\) выражается как \(A + \overrightarrow{AA_1}\), а вектор \(B_1\) как \(A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1}\). Следовательно, координаты точки \(M\) будут равны \(A + \overrightarrow{AA_1} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\), так как мы берем половину вектора от \(A_1\) до \(B_1\).

Точка \(K\) — середина ребра \(CC_1\). Вектор \(C\) равен \(A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\), а вектор \(C_1\) — \(C + \overrightarrow{AA_1} = A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}\). Тогда координаты точки \(K\) находятся как среднее арифметическое \(C\) и \(C_1\), что даёт \(A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1}\).

Вектор \(\overrightarrow{MK}\) вычисляется как разность координат точек \(K\) и \(M\), то есть \(\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{K} — \overrightarrow{M}\). Подставляя выражения, получаем \(\overrightarrow{MK} = \left(A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1}\right) — \left(A + \overrightarrow{AA_1} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\right)\). Упростив, вычитаем одинаковые части и складываем оставшиеся, получаем \(\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} — \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1}\).