ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точка \(E\) — середина ребра \(CC_1\), точка \(F\) — середина ребра \(AD\). Выразите вектор \(\overrightarrow{EF}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\).

Точка \(E\) — середина ребра \(CC_1\), значит \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1}\).

Точка \(F\) — середина ребра \(AD\), значит \(\overrightarrow{AF} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}\).

Вектор \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} — \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} — \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1}\right)\).

Раскрывая скобки, получаем \(\overrightarrow{EF} = — \overrightarrow{AB} — \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} — \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1}\).

Рассмотрим точку \(E\), которая является серединой ребра \(CC_1\). Вектор \( \overrightarrow{AC} \) можно выразить через векторы ребер куба как сумму \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \), так как \(C\) находится на пересечении ребер, исходящих из \(A\). Ребро \(CC_1\) направлено вдоль вектора \( \overrightarrow{AA_1} \), поэтому середина этого ребра \(E\) будет находиться на расстоянии половины вектора \( \overrightarrow{AA_1} \) от точки \(C\). Следовательно, позиционный вектор точки \(E\) равен \( \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1} \).

Теперь рассмотрим точку \(F\), которая является серединой ребра \(AD\). Поскольку \(F\) лежит на ребре \(AD\), вектор \( \overrightarrow{AF} \) равен половине вектора \( \overrightarrow{AD} \), то есть \( \overrightarrow{AF} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} \). Это следует из определения середины отрезка: координаты точки середины равны среднему арифметическому координат концов отрезка.

Для нахождения вектора \( \overrightarrow{EF} \) нужно вычесть из вектора \( \overrightarrow{AF} \) вектор \( \overrightarrow{AE} \), то есть \( \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} — \overrightarrow{AE} \). Подставляя выражения для \( \overrightarrow{AF} \) и \( \overrightarrow{AE} \), получаем \( \overrightarrow{EF} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} — \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1} \right) \). Раскрывая скобки и группируя похожие слагаемые, находим \( \overrightarrow{EF} = — \overrightarrow{AB} — \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} — \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1} \). Таким образом, вектор \( \overrightarrow{EF} \) выражен через заданные векторы ребер куба.