ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Образом точки \(B (3; -4; 1)\) при гомотетии с центром \(A (-1; 2; 9)\) является точка \(B_1 (-2; 3,5; 11)\). Найдите образ \(C_1\) точки \(C (19; -6; 37)\) при этой гомотетии.

Коэффициент гомотетии \(k\) находится из уравнения \( -2 = -1 + k(3 — (-1)) \), откуда \( k = -\frac{1}{4} \).

Образ точки \(C\) вычисляется по формуле \( x_{C_1} = -1 + k(19 — (-1)) = -6 \), \( y_{C_1} = 2 + k(-6 — 2) = 4 \), \( z_{C_1} = 9 + k(37 — 9) = 2 \).

Ответ: \( C_1(-6; 4; 2) \).

Для начала найдем коэффициент гомотетии \(k\). Из условия известно, что точка \(B(3; -4; 1)\) переходит в точку \(B_1(-2; 3{,}5; 11)\) при гомотетии с центром в точке \(A(-1; 2; 9)\). Формула гомотетии для координаты \(x\) выглядит так: \(x_1 = x_A + k(x — x_A)\). Подставим значения для точки \(B\): \(-2 = -1 + k(3 — (-1))\), откуда получаем уравнение \(-2 = -1 + 4k\). Решая его, находим \(k = -\frac{1}{4}\). Аналогично проверяем по координате \(y\): \(3{,}5 = 2 + k(-4 — 2)\), что дает \(3{,}5 = 2 — 6k\), и от сюда \(k = -\frac{1{,}5}{6} = -\frac{1}{4}\). По координате \(z\) проверка аналогична: \(11 = 9 + k(1 — 9)\), что дает \(11 = 9 — 8k\), и \(k = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}\). Все три проверки совпадают, значит коэффициент гомотетии равен \(k = -\frac{1}{4}\).

Теперь найдем образ точки \(C(19; -6; 37)\) при этой гомотетии. Для этого применим формулу гомотетии к каждой координате: \(x_{C_1} = x_A + k(x_C — x_A) = -1 + \left(-\frac{1}{4}\right)(19 — (-1)) = -1 — \frac{1}{4} \cdot 20=\)
\( = -1 — 5 = -6\). Для координаты \(y\) вычисляем: \(y_{C_1} = y_A + k(y_C — y_A) = 2 + \left(-\frac{1}{4}\right)(-6 — 2) = 2 + \frac{1}{4} \cdot 8 = 2 + 2 = 4\). Для координаты \(z\) вычисляем: \(z_{C_1} = z_A + k(z_C — z_A) = 9 + \left(-\frac{1}{4}\right)(37 — 9) = 9 — \frac{1}{4} \cdot 28 = 9 — 7 = 2\).

Таким образом, образ точки \(C\) при гомотетии с центром в точке \(A\) и коэффициентом \(k = -\frac{1}{4}\) будет иметь координаты \(C_1(-6; 4; 2)\). Это соответствует точке, полученной в результате масштабирования и сдвига относительно центра гомотетии. Коэффициент \(k\) отрицательный, что указывает на отражение и уменьшение расстояния от центра гомотетии, а вычисленные координаты подтверждают правильность решения.