ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Образом точки \(M (2; 3; -5)\) при гомотетии с центром \(A (1; 0; -1)\) является точка \(M_1 (4; 9; -13)\). Найдите прообраз \(K\) точки \(K_1 (16; -21; 2)\) при этой гомотетии.

Коэффициент гомотетии \(k\) найдем из уравнения \(4 = 1 + k(2 — 1)\), откуда \(k = 3\).

Прообраз точки \(K_1(16; -21; 2)\) вычисляем по формуле \(K = A + \frac{1}{k}(K_1 — A)\).

Подставляем координаты:
\(K_x = 1 + \frac{1}{3}(16 — 1) = 6\),
\(K_y = 0 + \frac{1}{3}(-21 — 0) = -7\),
\(K_z = -1 + \frac{1}{3}(2 + 1) = 0\).

Ответ: \(K(6; -7; 0)\).

Для начала определим коэффициент гомотетии \(k\). Из условия известно, что точка \(M(2; 3; -5)\) переходит в точку \(M_1(4; 9; -13)\) при гомотетии с центром в точке \(A(1; 0; -1)\). Формула гомотетии для каждой координаты выглядит как \(M_1 = A + k(M — A)\). Подставим координаты по оси \(x\): \(4 = 1 + k(2 — 1)\), откуда \(4 = 1 + k\) и \(k = 3\). Проверим для оси \(y\): \(9 = 0 + k(3 — 0) = 3k\), значит \(k = 3\). Аналогично для оси \(z\): \(-13 = -1 + k(-5 + 1) = -1 + k(-4)\), что даёт \(-12 = -4k\) и снова \(k = 3\). Таким образом, коэффициент гомотетии равен 3.

Теперь, имея коэффициент \(k\), найдем прообраз точки \(K_1(16; -21; 2)\). Прообраз \(K\) вычисляется по формуле \(K = A + \frac{1}{k}(K_1 — A)\), так как гомотетия обратима при \(k \neq 0\). Подставим координаты по оси \(x\): \(K_x = 1 + \frac{1}{3}(16 — 1) = 1 + \frac{15}{3} = 6\). Для оси \(y\): \(K_y = 0 + \frac{1}{3}(-21 — 0) = \frac{-21}{3} = -7\). Для оси \(z\): \(K_z = -1 + \frac{1}{3}(2 + 1) = -1 + \frac{3}{3} = 0\).

Итоговая точка прообраза \(K\) имеет координаты \(K(6; -7; 0)\). Этот результат соответствует условию задачи и проверен по всем осям.