ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны. Точка \(O\) не принадлежит этим плоскостям (рис. 4.13). Каждой точке \(X\) фигуры \(F\), принадлежащей плоскости \(\alpha\), ставится в соответствие точка \(X_1\), такая, что \(X_1 = OX \cap \beta\). Докажите, что при таком преобразовании образом фигуры \(F\) является фигура \(F_1\), гомотетичная фигуре \(F\) с центром \(O\) и коэффициентом, равным \(\frac{h}{h_1}\), где \(h\) и \(h_1\) — соответственно расстояния от точки \(O\) до плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\).

Пусть \(X\) — точка фигуры \(F\) в плоскости \(\alpha\), тогда \(X_1\) — точка пересечения прямой \(OX\) с плоскостью \(\beta\).

Так как плоскости параллельны, расстояния от \(O\) до \(\alpha\) и \(\beta\) равны \(h\) и \(h_1\) соответственно.

Отношение длин отрезков \(OX_1\) и \(OX\) равно \(\frac{h_1}{h}\), то есть \(OX_1 = k \cdot OX\), где \(k = \frac{h_1}{h}\).

Следовательно, фигура \(F_1\) гомотетична фигуре \(F\) с центром \(O\) и коэффициентом \(k = \frac{h_1}{h}\).

Пусть \(X\) — произвольная точка фигуры \(F\), лежащей в плоскости \(\alpha\). Рассмотрим прямую, проходящую через точку \(O\) и точку \(X\). По условию, точка \(X_1\) — это точка пересечения этой прямой с плоскостью \(\beta\). Поскольку плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, прямая \(OX\) пересекает обе плоскости, и расстояния от точки \(O\) до этих плоскостей равны \(h\) и \(h_1\) соответственно.

Длина отрезка \(OX\) равна расстоянию от \(O\) до плоскости \(\alpha\), то есть \(h\), а длина отрезка \(OX_1\) равна расстоянию от \(O\) до плоскости \(\beta\), то есть \(h_1\). Поскольку точка \(X_1\) лежит на прямой \(OX\), то вектор \(\overrightarrow{OX_1}\) является масштабированным вектором \(\overrightarrow{OX}\) с коэффициентом \(k\), где \(k = \frac{h_1}{h}\). Это означает, что \(OX_1 = k \cdot OX\).

Таким образом, для каждой точки \(X\) фигуры \(F\) существует точка \(X_1\) фигуры \(F_1\), полученная гомотетией с центром в точке \(O\) и коэффициентом \(k = \frac{h_1}{h}\). Следовательно, фигура \(F_1\) является гомотетичным образом фигуры \(F\) с указанным центром и коэффициентом.