ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что при гомотетии образом окружности является окружность.

Пусть \( w: (O; R) \to (O_1; kR) \) — гомотетия с центром \( Q \).

Если \( k > 0 \), то для любой точки \( M \in \omega(O; R) \) образ \( M_1 = w(M) \) лежит на окружности с центром \( O_1 = w(O) \) и радиусом \( kR \), так как расстояния масштабируются на \( k \).

Если \( k < 0 \), то аналогично, только с отражением, образ тоже окружность с радиусом \( |k| R \).

Следовательно, образ окружности при гомотетии — окружность.

Пусть задана окружность с центром в точке \( O \) и радиусом \( R \), обозначим её как \( \omega(O; R) \). Рассмотрим гомотетию с центром \( Q \) и коэффициентом \( k \neq 0 \), которая отображает каждую точку \( M \) в точку \( M_1 \) так, что \( M_1 \) лежит на луче \( Q M \) и расстояние от \( Q \) до \( M_1 \) равно \( |k| \) умноженному на расстояние от \( Q \) до \( M \). Центр окружности \( O \) при этом переходит в точку \( O_1 = w(O) \).

Для любой точки \( M \), принадлежащей окружности \( \omega(O; R) \), справедливо равенство \( OM = R \). При гомотетии расстояния между точками масштабируются на коэффициент \( |k| \), поэтому расстояние между образом точки \( M_1 = w(M) \) и образом центра \( O_1 = w(O) \) будет равно \( |k| R \). Это значит, что множество всех образов точек окружности \( \omega(O; R) \) образует окружность с центром в \( O_1 \) и радиусом \( |k| R \).

Если коэффициент гомотетии \( k \) положителен, то образ окружности совпадает с окружностью, радиус которой равен \( k R \). Если \( k \) отрицателен, то происходит дополнительно отражение относительно центра гомотетии \( Q \), но образ всё равно остаётся окружностью с радиусом \( |k| R \). Таким образом, гомотетия переводит окружность в окружность с масштабированным радиусом и новым центром, который является образом старого центра.