ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь меньшего основания образовавшейся при этом усечённой пирамиды, если площадь основания данной пирамиды равна 48 см².

Пусть площадь основания пирамиды равна \(S = 48\). Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию, значит масштаб подобия линейных размеров равен \(\frac{1}{2}\).

Площадь меньшего основания будет равна площади основания, умноженной на квадрат масштаба подобия:

\(S_{\text{меньшее}} = 48 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 48 \times \frac{1}{4} = 12\)

Ответ: \(12 \, \text{см}^2\)

Площадь основания пирамиды равна \(S = 48\) см². Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. Это означает, что эта плоскость создаст сечение, подобное основанию, но с меньшими размерами. Поскольку сечение параллельно основанию, фигуры подобны, и масштабы их линейных размеров связаны с положением сечения по высоте.

Так как плоскость проходит через середину высоты, масштаб линейных размеров сечения к основанию равен \( \frac{1}{2} \), потому что длина от вершины до сечения составляет половину высоты пирамиды. В подобии линейные размеры уменьшаются в этом отношении, а площади изменяются пропорционально квадрату масштаба. Это связано с тем, что площадь — величина двумерная, и при изменении масштаба линейных размеров в \(k\) площадь изменяется в \(k^2\).

Следовательно, площадь меньшего основания усечённой пирамиды вычисляется по формуле \( S_{\text{меньшее}} = S \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 48 \times \frac{1}{4} = 12 \) см². Таким образом, площадь сечения, параллельного основанию и проходящего через середину высоты, составляет 12 см².