ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота пирамиды равна 25 см. Через точку \(M\), принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площади оснований образовавшейся при этом усечённой пирамиды равны 12 см² и 75 см². Найдите расстояние от точки \(M\) до вершины данной пирамиды.

Пусть высота пирамиды равна \(H = 25\), расстояние от вершины до точки \(M\) — \(x\).

Площади оснований связаны квадратом коэффициента подобия: \(\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{x}{H}\right)^2\).

Подставляем значения: \(\frac{12}{75} = \left(\frac{x}{25}\right)^2\).

Приводим дробь: \(\frac{4}{25} = \left(\frac{x}{25}\right)^2\).

Извлекаем корень: \(\frac{x}{25} = \frac{2}{5}\).

Находим \(x\): \(x = 25 \cdot \frac{2}{5} = 10\).

Ответ: \(10\) (см).

Высота пирамиды равна \(H = 25\) см. Точка \(M\) лежит на высоте, и через неё проведена плоскость, параллельная основанию пирамиды. Такая плоскость образует срез пирамиды, который является подобной фигурой её основания, но с меньшими размерами. Площадь этого среза обозначим \(S_1 = 12\) см², а площадь основания пирамиды — \(S_2 = 75\) см². Нужно найти расстояние от вершины пирамиды до точки \(M\), обозначим это расстояние \(x\).

Так как срез параллелен основанию, фигуры подобны, и коэффициент подобия равен отношению линейных размеров. Площадь подобной фигуры меняется пропорционально квадрату коэффициента подобия. Значит, отношение площадей среза и основания равно квадрату отношения расстояния от вершины до среза \(x\) к полной высоте пирамиды \(H\). Запишем это уравнение: \(\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{x}{H}\right)^2\).

Подставим известные значения: \(\frac{12}{75} = \left(\frac{x}{25}\right)^2\). Сократим дробь: \(\frac{4}{25} = \left(\frac{x}{25}\right)^2\). Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения: \(\frac{x}{25} = \frac{2}{5}\). Умножим обе части на 25: \(x = 25 \cdot \frac{2}{5} = 10\). Таким образом, расстояние от вершины пирамиды до точки \(M\) равно 10 см.