ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.29 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан тетраэдр \(DABC\). Медианы грани \(ADB\) пересекаются в точке \(E\), а медианы грани \(BDC\) — в точке \(F\).

1) Докажите, что \(\overrightarrow{EF} \parallel \overrightarrow{AC}\).

2) Выразите вектор \(\overrightarrow{EF}\) через вектор \(\overrightarrow{AC}\).

Точки \(E\) и \(F\) — точки пересечения медиан граней \(ADB\) и \(BDC\).

Векторы медиан граней параллельны стороне \(AC\), значит \(\overrightarrow{EF} \parallel \overrightarrow{AC}\).

Так как \(E\) и \(F\) — центроиды треугольников, то \(\overrightarrow{EF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\).

Точки \(E\) и \(F\) являются точками пересечения медиан треугольников \(ADB\) и \(BDC\) соответственно. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В треугольнике каждая медиана делится точкой пересечения медиан в отношении \(2:1\), считая от вершины. Это значит, что точка пересечения медиан является центроидом треугольника.

Рассмотрим векторы, связанные с этими точками. Поскольку \(E\) — центроид треугольника \(ADB\), то его координаты выражаются через вершины \(A\), \(D\), \(B\) как среднее арифметическое: \(E = \frac{A + D + B}{3}\). Аналогично, для точки \(F\), центроида треугольника \(BDC\), имеем \(F = \frac{B + D + C}{3}\). Тогда вектор \(\overrightarrow{EF}\) равен разности координат: \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{F} — \overrightarrow{E} = \frac{B + D + C}{3} — \frac{A + D + B}{3} = \frac{C — A}{3}\).

Из этого следует, что \(\overrightarrow{EF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\), а значит вектор \(\overrightarrow{EF}\) направлен параллельно вектору \(\overrightarrow{AC}\) и составляет с ним коллинеарный вектор в треть длины \(\overrightarrow{AC}\). Это доказывает и параллельность, и выражение вектора \(\overrightarrow{EF}\) через \(\overrightarrow{AC}\).