ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.3 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан вектор \(\vec{a} (4; -8; -20)\). Укажите координаты вектора \(\vec{b}\), если:

1) \(\vec{b} = 5\vec{a}\);

2) \(\vec{b} = -\frac{3}{4}\vec{a}\).

Вектор \( \vec{a} = (4; -8; -20) \).

1) \( \vec{b} = 5\vec{a} = (4 \times 5; -8 \times 5; -20 \times 5) = (20; -40; -100) \).

2) \( \vec{b} = -\frac{3}{4}\vec{a} = (4 \times -\frac{3}{4}; -8 \times -\frac{3}{4}; -20 \times -\frac{3}{4}) = (-3; 6; 15) \).

Вектор \( \vec{a} = (4; -8; -20) \) задан в трёхмерном пространстве, где каждая координата обозначает проекцию вектора на соответствующую ось. Чтобы получить новый вектор \( \vec{b} \), необходимо выполнить операцию умножения исходного вектора на заданный коэффициент, то есть каждую координату умножить на этот коэффициент. Это называется умножением вектора на число, и результатом будет новый вектор, параллельный исходному, но с изменённой длиной и, возможно, направлением.

В первом случае требуется найти координаты вектора \( \vec{b} \), если \( \vec{b} = 5\vec{a} \). Это означает, что каждую координату вектора \( \vec{a} \) нужно умножить на 5: \( 4 \times 5 = 20 \), \( -8 \times 5 = -40 \), \( -20 \times 5 = -100 \). Таким образом, новый вектор будет иметь координаты \( (20; -40; -100) \). Вектор увеличился в 5 раз по длине, но направление осталось прежним.

Во втором случае требуется найти координаты вектора \( \vec{b} \), если \( \vec{b} = -\frac{3}{4}\vec{a} \). Здесь коэффициент отрицательный и дробный, поэтому каждую координату умножаем на \( -\frac{3}{4} \): \( 4 \times -\frac{3}{4} = -3 \), \( -8 \times -\frac{3}{4} = 6 \), \( -20 \times -\frac{3}{4} = 15 \). Полученный вектор \( (-3; 6; 15) \) будет направлен в противоположную сторону по сравнению с исходным, а его длина составит \( \frac{3}{4} \) от длины исходного вектора.

Таким образом, при умножении вектора на число, каждая его координата умножается на это число, что приводит к изменению длины и, возможно, направления вектора. Итоговые координаты: для первого случая \( (20; -40; -100) \), для второго \( (-3; 6; 15) \).