ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.30 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Медианы грани \(ABC\) тетраэдра \(DABC\) пересекаются в точке \(O\). Выразите вектор \(\overrightarrow{DC}\) через векторы \(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{DB}\) и \(\overrightarrow{DO}\).

Медианы треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(O\), которая является центром масс, значит \(3\overrightarrow{O} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}\).

Вектор \(\overrightarrow{DC}\) можно представить как \(\overrightarrow{C} — \overrightarrow{D}\).

Подставим выражение для \(\overrightarrow{C}\) через \(O\):

\(\overrightarrow{DC} = 3\overrightarrow{O} — \overrightarrow{A} — \overrightarrow{B} — \overrightarrow{D}\).

Перепишем через векторы от точки \(D\):

\(\overrightarrow{DC} = 3(\overrightarrow{O} — \overrightarrow{D}) — (\overrightarrow{A} — \overrightarrow{D}) — (\overrightarrow{B} — \overrightarrow{D})\).

Итог:

\(\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{DA} — \overrightarrow{DB} + 3\overrightarrow{DO}\).

Точка \(O\) — это точка пересечения медиан треугольника \(ABC\). По свойству медиан, эта точка является центром масс треугольника, и её координаты равны среднему арифметическому координат трёх вершин. Это означает, что вектор положения точки \(O\) можно выразить как \( \overrightarrow{O} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} \), или эквивалентно \( 3\overrightarrow{O} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} \).

Для нахождения вектора \( \overrightarrow{DC} \) нужно выразить его через векторы \( \overrightarrow{DA} \), \( \overrightarrow{DB} \), \( \overrightarrow{DO} \). Вектор \( \overrightarrow{DC} \) равен разности векторов положения точек \(C\) и \(D\), то есть \( \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{C} — \overrightarrow{D} \). Подставим в это выражение формулу для \( \overrightarrow{C} \) из уравнения центра масс: \( \overrightarrow{C} = 3\overrightarrow{O} — \overrightarrow{A} — \overrightarrow{B} \). Тогда получаем \( \overrightarrow{DC} = 3\overrightarrow{O} — \overrightarrow{A} — \overrightarrow{B} — \overrightarrow{D} \).

Теперь преобразуем всё выражение через векторы, исходящие из точки \(D\). Векторы \( \overrightarrow{DA} \), \( \overrightarrow{DB} \), \( \overrightarrow{DO} \) определяются как \( \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{A} — \overrightarrow{D} \), \( \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{B} — \overrightarrow{D} \), \( \overrightarrow{DO} = \overrightarrow{O} — \overrightarrow{D} \). Подставляя эти обозначения, получаем \( \overrightarrow{DC} = 3(\overrightarrow{O} — \overrightarrow{D}) — (\overrightarrow{A} — \overrightarrow{D}) — (\overrightarrow{B} — \overrightarrow{D}) \), что равносильно \( \overrightarrow{DC} = 3\overrightarrow{DO} — \overrightarrow{DA} — \overrightarrow{DB} \).