ГДЗ Мерзляк 11 Класс по Геометрии Базовый Уровень Номировский Учебник 📕 Полонский — Все Части

Геометрия Базовый Уровень

11 класс Базовый Уровень Учебник Мерзляк

11 класс

Тип

Гдз, Решебник.

Автор

Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Полонский В.Б., Якир М.С.

Год

2019

Издательство

Вентана-Граф

Описание

Учебник «Геометрия. 11 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического и доступного изучения геометрии на выпускном этапе школы. Издание полностью соответствует требованиям ФГОС и охватывает все основные темы курса геометрии для 11 класса, позволяя ученикам уверенно освоить базовые понятия и подготовиться к итоговой аттестации.

ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.31 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Точка \(M\) — середина ребра \(BC\) тетраэдра \(DABC\), точка \(K\) — середина отрезка \(DM\). Выразите вектор \(\overrightarrow{AK}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AD}\).

Краткий ответ:

Точка \(M\) — середина \(BC\), значит \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).

Точка \(K\) — середина \(DM\), значит \(\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AM}\).

Подставляем \(\overrightarrow{AM}\) в выражение для \(\overrightarrow{AK}\):

\(\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\).

Подробный ответ:

Пусть \(M\) — середина ребра \(BC\). По определению середины отрезка, вектор \(\overrightarrow{AM}\) можно выразить через векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\). Так как \(M\) делит отрезок \(BC\) пополам, то вектор \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\). Следовательно, вектор \(\overrightarrow{AM}\) равен сумме вектора \(\overrightarrow{AB}\) и половины вектора \(\overrightarrow{BC}\), то есть \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\). Поскольку \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB}\), то подставляем это в выражение и получаем \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\).

Теперь рассмотрим точку \(K\), которая является серединой отрезка \(DM\). По определению середины, вектор \(\overrightarrow{AK}\) равен вектору \(\overrightarrow{AD}\) плюс половина вектора \(\overrightarrow{DM}\), то есть \(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{DM}\). Вектор \(\overrightarrow{DM}\) можно представить как разность векторов \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{AD}\), то есть \(\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AM} — \overrightarrow{AD}\). Подставляя это в выражение для \(\overrightarrow{AK}\), получаем \(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{AM} — \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AM}\).

Подставляем найденное ранее выражение для \(\overrightarrow{AM}\) в формулу для \(\overrightarrow{AK}\): \(\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} \right) = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}\). Таким образом, вектор \(\overrightarrow{AK}\) выражается через векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AD}\) как сумма половины вектора \(\overrightarrow{AD}\) и четверти векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\).

Оцени решение