ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.32 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(M\) — середина ребра \(BC\) тетраэдра \(DABC\). Выразите вектор \(\overrightarrow{DM}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AD}\).

Точка \(M\) — середина \(BC\), значит \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\).

Вектор \(\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BM}\).

Запишем через векторы от точки \(D\): \(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AD}\).

Тогда \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{DC} — \overrightarrow{DB}) = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB})\).

Подставляем: \(\overrightarrow{DM} = (\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AD}) + \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AD}\).

Точка \(M\) — середина отрезка \(BC\), значит вектор \(\overrightarrow{BM}\) равен половине вектора \(\overrightarrow{BC}\), то есть \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\). Это ключевой факт, который позволяет нам выразить вектор \(\overrightarrow{DM}\) через известные векторы. Вектор \(\overrightarrow{DM}\) можно представить как сумму двух векторов: \(\overrightarrow{DB}\) и \(\overrightarrow{BM}\), то есть \(\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BM}\).

Далее мы переходим к выражению векторов \(\overrightarrow{DB}\) и \(\overrightarrow{DC}\) через векторы, исходящие из точки \(D\). Поскольку \(D\) — вершина тетраэдра, мы можем записать \(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AD}\). Эти равенства основаны на том, что вектор между двумя точками равен разности их радиус-векторов. Теперь, учитывая, что \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{DC} — \overrightarrow{DB})\), подставим выражения для \(\overrightarrow{DB}\) и \(\overrightarrow{DC}\) в это равенство.

Подставляя, получаем \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} [(\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AD}) — (\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AD})]\). Раскрывая скобки, видим, что \(\overrightarrow{AD}\) сокращается, и остается \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB})\). Теперь подставим это в выражение для \(\overrightarrow{DM}\): \(\overrightarrow{DM} = (\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AD}) + \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB})\). Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые, получаем итоговое выражение \(\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AD}\).