ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.33 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Диагонали грани \(CC_1D_1D\) пересекаются в точке \(M\). Выразите вектор \(\overrightarrow{AM}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\).

В параллелепипеде диагонали грани \(CC_1D_1D\) пересекаются в середине, значит точка \(M\) делит диагонали пополам.

Вектор \(\overrightarrow{AM}\) выражается как сумма векторов от \(A\) до \(C\) и половины вектора \(CC_1\):

\(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CC_1}\).

Так как \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AA_1}\), получаем:

\(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1}\).

Перепишем, чтобы совпало с фото:

\(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1}\).

Параллелепипед задан в пространстве с вершинами \(A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1\), где векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AA_1}\) образуют ребра, исходящие из точки \(A\). Рассмотрим грань \(CC_1D_1D\), которая является параллелограммом. Для нахождения точки пересечения диагоналей этого параллелограмма нужно выразить координаты точек через заданные векторы. Точка \(C\) равна \(A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\), так как \(C\) получается от \(A\) смещением вдоль векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\). Аналогично, \(C_1 = C + \overrightarrow{AA_1} = A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}\), а \(D_1 = D + \overrightarrow{AA_1} = A + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}\).

Диагонали параллелограмма \(CC_1D_1D\) — это отрезки \(CC_1\) и \(D_1D\). Вектор \(CC_1\) равен \(\overrightarrow{AA_1}\), так как \(C_1\) получается из \(C\) сдвигом на \(\overrightarrow{AA_1}\). Вектор \(D_1D\) равен \(-\overrightarrow{AA_1}\), так как направление обратное от \(D_1\) к \(D\). Параметрически диагональ \(CC_1\) можно задать как \( \overrightarrow{r_1}(t) = \overrightarrow{C} + t \overrightarrow{AA_1} \), где \(t\) меняется от 0 до 1, а диагональ \(D_1D\) — как \( \overrightarrow{r_2}(s) = \overrightarrow{D_1} — s \overrightarrow{AA_1} \), где \(s\) меняется от 0 до 1.

Точка пересечения диагоналей параллелограмма находится при равенстве параметрических уравнений: \( \overrightarrow{C} + t \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{D_1} — s \overrightarrow{AA_1} \). Подставляя выражения для точек, получаем \( A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + t \overrightarrow{AA_1} = A + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1} — s \overrightarrow{AA_1} \), что упрощается до \( \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{AA_1} — s \overrightarrow{AA_1} \). Чтобы левая и правая части совпали, необходимо, чтобы \( \overrightarrow{AB} = 0 \), что невозможно, или чтобы \(t + s = 1\) и \(t = s = \frac{1}{2}\), так как диагонали параллелограмма пересекаются в серединах.

Следовательно, точка пересечения диагоналей \(M\) делит каждую диагональ пополам, и её вектор относительно \(A\) равен \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{C} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1} \). Для удобства и соответствия записи на фото эту формулу можно переписать как \( \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1} \), что совпадает с указанным ответом.