ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.34 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). На ребре \(AD\) отметили точку \(M\) так, что \(AM : MD = 1 : 3\), а на отрезке \(C_1D\) — точку \(K\) так, что \(C_1K : KD = 3 : 2\). Выразите вектор \(\overrightarrow{MK}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\).

Точка \(M\) делит \(AD\) в отношении \(1:3\), значит \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AD}\).

Точка \(K\) делит \(C_1D\) в отношении \(3:2\), значит \(\overrightarrow{C_1K} = \frac{3}{5} \overrightarrow{C_1D}\).

Вектор \(\overrightarrow{C_1D} = -\overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{AB}\).

Вектор \(\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{AK} — \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{C_1K} — \overrightarrow{AM}\).

Так как \(\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\), подставляем:

\(\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{3}{5}(-\overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{AB}) — \frac{1}{4} \overrightarrow{AD}\).

Приводим подобные:

\(\overrightarrow{MK} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4} \overrightarrow{AD} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AA_1}\).

Точка \(M\) лежит на ребре \(AD\) параллелепипеда и делит его в отношении \(AM : MD = 1 : 3\). Это значит, что длина отрезка \(AM\) составляет четверть длины всего ребра \(AD\). Поэтому вектор \(\overrightarrow{AM}\) можно выразить как \(\frac{1}{4} \overrightarrow{AD}\). Это ключевой момент, так как позволяет нам точно задать положение точки \(M\) через вектор ребра \(AD\).

Точка \(K\) находится на ребре \(C_1D\) и делит этот отрезок в отношении \(C_1K : KD = 3 : 2\). Значит, длина отрезка \(C_1K\) равна трём пятым длины всего ребра \(C_1D\). Вектор \(\overrightarrow{C_1K}\) равен \(\frac{3}{5} \overrightarrow{C_1D}\). Чтобы выразить \(\overrightarrow{C_1D}\) через векторы параллелепипеда, нужно заметить, что \(C_1\) — это вершина, смещённая от \(A\) по векторам \(\overrightarrow{AA_1}\), \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\), а \(D\) — это вершина, смещённая от \(A\) только по \(\overrightarrow{AD}\). Поэтому \(\overrightarrow{C_1D} = \overrightarrow{D} — \overrightarrow{C_1} = (A + \overrightarrow{AD}) — (A + \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = -\overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{AB}\).

Чтобы найти вектор \(\overrightarrow{MK}\), нужно выразить его через известные векторы. Вектор \(\overrightarrow{MK}\) равен разности векторов \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{AM}\), то есть \(\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{AK} — \overrightarrow{AM}\). Вектор \(\overrightarrow{AK}\) можно представить как сумму \(\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{C_1K}\). В свою очередь, \(\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\). Подставляя всё это, получаем \(\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{3}{5}(-\overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{AB}) — \frac{1}{4} \overrightarrow{AD}\).

Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены: \(\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} — \frac{3}{5} \overrightarrow{AA_1} — \frac{3}{5} \overrightarrow{AB} — \frac{1}{4} \overrightarrow{AD}\). Теперь вычислим коэффициенты при каждом векторе: \(1 — \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\) для \(\overrightarrow{AA_1}\) и \(\overrightarrow{AB}\), а \(1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\) для \(\overrightarrow{AD}\). В итоге получаем выражение \(\overrightarrow{MK} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4} \overrightarrow{AD} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AA_1}\), что полностью совпадает с ответом на фото.

Параллелепипед задан в пространстве с вершинами \(A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1\), где векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AA_1}\) образуют ребра, исходящие из точки \(A\). Рассмотрим грань \(CC_1D_1D\), которая является параллелограммом. Для нахождения точки пересечения диагоналей этого параллелограмма нужно выразить координаты точек через заданные векторы. Точка \(C\) равна \(A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\), так как \(C\) получается от \(A\) смещением вдоль векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\). Аналогично, \(C_1 = C + \overrightarrow{AA_1} = A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}\), а \(D_1 = D + \overrightarrow{AA_1} = A + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}\).

Диагонали параллелограмма \(CC_1D_1D\) — это отрезки \(CC_1\) и \(D_1D\). Вектор \(CC_1\) равен \(\overrightarrow{AA_1}\), так как \(C_1\) получается из \(C\) сдвигом на \(\overrightarrow{AA_1}\). Вектор \(D_1D\) равен \(-\overrightarrow{AA_1}\), так как направление обратное от \(D_1\) к \(D\). Параметрически диагональ \(CC_1\) можно задать как \( \overrightarrow{r_1}(t) = \overrightarrow{C} + t \overrightarrow{AA_1} \), где \(t\) меняется от 0 до 1, а диагональ \(D_1D\) — как \( \overrightarrow{r_2}(s) = \overrightarrow{D_1} — s \overrightarrow{AA_1} \), где \(s\) меняется от 0 до 1.

Точка пересечения диагоналей параллелограмма находится при равенстве параметрических уравнений: \( \overrightarrow{C} + t \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{D_1} — s \overrightarrow{AA_1} \). Подставляя выражения для точек, получаем \( A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + t \overrightarrow{AA_1} = A + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1} — s \overrightarrow{AA_1} \), что упрощается до \( \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{AA_1} — s \overrightarrow{AA_1} \). Чтобы левая и правая части совпали, необходимо, чтобы \( \overrightarrow{AB} = 0 \), что невозможно, или чтобы \(t + s = 1\) и \(t = s = \frac{1}{2}\), так как диагонали параллелограмма пересекаются в серединах.

Следовательно, точка пересечения диагоналей \(M\) делит каждую диагональ пополам, и её вектор относительно \(A\) равен \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{C} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1} \). Для удобства и соответствия записи на фото эту формулу можно переписать как \( \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1} \), что совпадает с указанным ответом.