ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.35 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан тетраэдр \(DABC\). Точки \(M_1\), \(M_2\) и \(M_3\) являются соответственно точками пересечения медиан граней \(ABD\), \(BCD\) и \(ADC\). Докажите, что точки пересечения медиан треугольников \(ABC\) и \(M_1M_2M_3\) и точка \(D\) лежат на одной прямой.

Даны векторы \(\vec{a} = \overrightarrow{DA}\), \(\vec{b} = \overrightarrow{DB}\), \(\vec{c} = \overrightarrow{DC}\).

Точки \(M_1, M_2, M_3\) имеют координаты \(M_1 = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{4}\), \(M_2 = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{4}\), \(M_3 = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{4}\).

Точка пересечения медиан треугольника \(ABC\) есть \(G = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\).

Точка пересечения медиан треугольника \(M_1M_2M_3\) есть \(G’ = \frac{M_1 + M_2 + M_3}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{6}\).

Векторы \(\overrightarrow{DG’} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{6}\) и \(\overrightarrow{DG} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\) коллинеарны, значит точки \(D\), \(G’\), \(G\) лежат на одной прямой.

Рассмотрим тетраэдр с вершинами \(D, A, B, C\) и введём векторы \(\vec{a} = \overrightarrow{DA}\), \(\vec{b} = \overrightarrow{DB}\), \(\vec{c} = \overrightarrow{DC}\). Это позволит нам выразить все точки через векторы, исходящие из вершины \(D\).

Точки \(M_1, M_2, M_3\) — середины медиан граней \(ABD\), \(BCD\) и \(ADC\) соответственно. Медиана грани — отрезок, соединяющий вершину грани с серединой противоположной стороны. Например, медиана грани \(ABD\), исходящая из \(D\), соединяет \(D\) с серединой стороны \(AB\), которая равна \(\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}\). Тогда точка \(M_1\), как середина этой медианы, будет иметь координаты \(\frac{\vec{0} + \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{4}\). Аналогично, \(M_2 = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{4}\) и \(M_3 = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{4}\).

Далее рассмотрим треугольник \(ABC\). Точка пересечения его медиан — центр масс треугольника — имеет координаты \(G = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\). Для треугольника \(M_1M_2M_3\) аналогично найдём точку пересечения медиан \(G’\), которая равна среднему арифметическому координат вершин: \(G’ = \frac{M_1 + M_2 + M_3}{3} = \frac{\frac{\vec{a} + \vec{b}}{4} + \frac{\vec{b} + \vec{c}}{4} + \frac{\vec{a} + \vec{c}}{4}}{3} = \frac{2(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{12} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{6}\).

Теперь проверим коллинеарность точек \(D\), \(G’\) и \(G\). Вектор \(\overrightarrow{DG’} = G’ — D = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{6}\), а вектор \(\overrightarrow{DG} = G — D = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\). Видно, что \(\overrightarrow{DG} = 2 \cdot \overrightarrow{DG’}\), то есть эти векторы лежат на одной прямой. Следовательно, точки \(D\), \(G’\) и \(G\) коллинеарны и лежат на одной прямой.