ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.36 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \(E\) и \(F\) являются серединами рёбер \(BC\) и \(AD\) тетраэдра \(DABC\) соответственно. На отрезках \(BD\), \(EF\) и \(AC\) отметили соответственно точки \(M\), \(K\) и \(P\) так, что \(DM : MB = FK : KE = AP : PC = 2 : 1\). Докажите, что точки \(M\), \(K\) и \(P\) лежат на одной прямой.

Дано: \(E\) и \(F\) — середины \(BC\) и \(AD\). Точки \(M\), \(K\), \(P\) делят отрезки \(BD\), \(EF\), \(AC\) в отношении \(2:1\).

Найдём координаты точек:
\(\vec{E} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}\), \(\vec{F} = \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2}\),
\(\vec{M} = \frac{2\vec{B} + \vec{D}}{3}\),
\(\vec{K} = \frac{2\vec{E} + \vec{F}}{3} = \frac{2\frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} + \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2}}{3} = \frac{2\vec{B} + 2\vec{C} + \vec{A} + \vec{D}}{6}\),
\(\vec{P} = \frac{2\vec{C} + \vec{A}}{3}\).

Вычислим векторы \(\vec{KM} = \vec{M} — \vec{K} = \frac{2\vec{B} + \vec{D}}{3} — \frac{2\vec{B} + 2\vec{C} + \vec{A} + \vec{D}}{6} = \frac{2\vec{B} — 2\vec{C} — \vec{A} + \vec{D}}{6}\).

Вычислим \(\vec{KP} = \vec{P} — \vec{K} = \frac{2\vec{C} + \vec{A}}{3} — \frac{2\vec{B} + 2\vec{C} + \vec{A} + \vec{D}}{6} = \frac{-2\vec{B} + 2\vec{C} + \vec{A} — \vec{D}}{6}\).

Получаем \(\vec{KM} = -\vec{KP}\), значит \(\vec{KM}\) и \(\vec{KP}\) коллинеарны.

Следовательно, точки \(M\), \(K\), \(P\) лежат на одной прямой.

Рассмотрим тетраэдр с вершинами \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). Точки \(E\) и \(F\) — середины рёбер \(BC\) и \(AD\), значит их координаты можно выразить как \(\vec{E} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}\) и \(\vec{F} = \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2}\). Это важно, потому что теперь мы можем работать с этими точками через векторы и использовать свойства деления отрезков.

Точки \(M\), \(K\), \(P\) делят отрезки \(BD\), \(EF\), \(AC\) в отношении \(2:1\). Значит, точка \(M\) на отрезке \(BD\) делит его так, что \(DM : MB = 2 : 1\). По формуле деления отрезка внутрь векторная координата точки \(M\) будет \(\vec{M} = \frac{2\vec{B} + \vec{D}}{3}\). Аналогично, точка \(K\) делит отрезок \(EF\) в отношении \(2:1\) с \(FK : KE = 2 : 1\), следовательно \(\vec{K} = \frac{2\vec{E} + \vec{F}}{3}\). Подставляя выражения для \(\vec{E}\) и \(\vec{F}\), получаем \(\vec{K} = \frac{2\frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} + \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2}}{3} = \frac{2\vec{B} + 2\vec{C} + \vec{A} + \vec{D}}{6}\). Точка \(P\) на отрезке \(AC\) делит его так, что \(AP : PC = 2 : 1\), значит \(\vec{P} = \frac{2\vec{C} + \vec{A}}{3}\).

Чтобы проверить, лежат ли точки \(M\), \(K\), \(P\) на одной прямой, рассмотрим векторы \(\vec{KM} = \vec{M} — \vec{K}\) и \(\vec{KP} = \vec{P} — \vec{K}\). Вычислим \(\vec{KM} = \frac{2\vec{B} + \vec{D}}{3} — \frac{2\vec{B} + 2\vec{C} + \vec{A} + \vec{D}}{6} = \frac{2\vec{B} — 2\vec{C} — \vec{A} + \vec{D}}{6}\) и \(\vec{KP} = \frac{2\vec{C} + \vec{A}}{3} — \frac{2\vec{B} + 2\vec{C} + \vec{A} + \vec{D}}{6} = \frac{-2\vec{B} + 2\vec{C} + \vec{A} — \vec{D}}{6}\). Видно, что \(\vec{KM} = -\vec{KP}\), то есть эти векторы коллинеарны и направлены в противоположные стороны.

Поскольку векторы \(\vec{KM}\) и \(\vec{KP}\) коллинеарны, это означает, что точки \(M\), \(K\) и \(P\) лежат на одной прямой. Таким образом, мы доказали, что при заданных условиях точки \(M\), \(K\), \(P\) коллинеарны.