ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.37 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \(M\), \(F\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(BC\), \(AD\) и \(CD\) тетраэдра \(DABC\). На отрезке \(AM\) отметили точку \(P\), а на отрезке \(CF\) — точку \(E\) так, что \(AP : PM = 4 : 1\), \(CE : EF = 2 : 3\). Докажите, что прямые \(PE\) и \(BK\) параллельны.

Точка \(P\) делит \(AM\) в отношении \(4:1\), значит \(P = A + \frac{4}{5}(M — A)\), где \(M\) — середина \(BC\), то есть \(M = \frac{B + C}{2}\). Тогда \(P = \frac{1}{5}A + \frac{2}{5}B + \frac{2}{5}C\).

Точка \(E\) делит \(CF\) в отношении \(2:3\), где \(F\) — середина \(AD\), то есть \(F = \frac{A + D}{2}\). Тогда \(E = C + \frac{2}{5}(F — C) = \frac{1}{5}A + \frac{3}{5}C + \frac{1}{5}D\).

Вектор \(PE = E — P = \frac{1}{5}A + \frac{3}{5}C + \frac{1}{5}D — \left(\frac{1}{5}A + \frac{2}{5}B + \frac{2}{5}C\right) = \frac{1}{5}D + \frac{1}{5}C — \frac{2}{5}B\).

Вектор \(BK = K — B\), где \(K\) — середина \(CD\), \(K = \frac{C + D}{2}\), значит \(BK = \frac{C + D}{2} — B = \frac{1}{2}C + \frac{1}{2}D — B\).

Очевидно, что \(PE = \frac{2}{5} BK\), значит \(PE \parallel BK\).

Точка \(P\) лежит на отрезке \(AM\) и делит его в отношении \(4:1\), то есть длина отрезка \(AP\) в четыре раза больше длины отрезка \(PM\). Поскольку \(M\) — середина ребра \(BC\), то координаты \(M\) можно выразить как \(M = \frac{B + C}{2}\). Тогда координаты точки \(P\) находятся по формуле деления отрезка в заданном отношении: \(P = A + \frac{4}{5}(M — A)\). Подставляя выражение для \(M\), получаем \(P = A + \frac{4}{5}\left(\frac{B + C}{2} — A\right) = \frac{1}{5}A + \frac{2}{5}B + \frac{2}{5}C\). Это значит, что точка \(P\) — это взвешенная средняя точка с весами, соответствующими коэффициентам при вершинах \(A\), \(B\) и \(C\).

Точка \(E\) лежит на отрезке \(CF\) и делит его в отношении \(2:3\), где \(F\) — середина ребра \(AD\), то есть \(F = \frac{A + D}{2}\). По формуле деления отрезка в заданном отношении, координаты точки \(E\) равны \(E = C + \frac{2}{5}(F — C)\). Подставляя \(F\), получаем \(E = C + \frac{2}{5}\left(\frac{A + D}{2} — C\right) = \frac{1}{5}A + \frac{3}{5}C + \frac{1}{5}D\). Таким образом, точка \(E\) также выражается через вершины тетраэдра с определёнными коэффициентами, отражающими её положение на отрезке \(CF\).

Теперь найдём векторы направлений прямых \(PE\) и \(BK\). Вектор \(PE\) равен разности координат: \(PE = E — P = \left(\frac{1}{5}A + \frac{3}{5}C + \frac{1}{5}D\right) — \left(\frac{1}{5}A + \frac{2}{5}B + \frac{2}{5}C\right) = \frac{1}{5}D + \frac{1}{5}C — \frac{2}{5}B\). Вектор \(BK\) определяется как разность координат точки \(K\) и точки \(B\), где \(K\) — середина ребра \(CD\), то есть \(K = \frac{C + D}{2}\). Следовательно, \(BK = K — B = \frac{C + D}{2} — B = \frac{1}{2}C + \frac{1}{2}D — B\). Видно, что вектор \(PE\) является числовым множителем вектора \(BK\): \(PE = \frac{2}{5}BK\). Это доказывает, что векторы коллинеарны, а значит прямые \(PE\) и \(BK\) параллельны.