ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.38 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). На отрезках \(B_1C\) и \(BD\) взяли соответственно точки \(M\) и \(K\) так, что \(B_1M : MC = 2 : 1\), \(BK : KD = 1 : 2\). Докажите, что прямые \(MK\) и \(AC_1\) параллельны.

Даны точки \(M\) и \(K\) на отрезках \(B_1C\) и \(BD\) соответственно, с отношениями \(B_1M : MC = 2 : 1\) и \(BK : KD = 1 : 2\).

Найдём координаты точек: \(M = \frac{2C + B_1}{3}\), \(K = \frac{D + 2B}{3}\).

Векторы: \(\overrightarrow{MK} = K — M = -\frac{1}{3}(a,a,a)\), \(\overrightarrow{AC_1} = (a,a,a)\).

Так как \(\overrightarrow{MK} = -\frac{1}{3} \overrightarrow{AC_1}\), прямые \(MK\) и \(AC_1\) параллельны.

Рассмотрим куб с ребром длины \(a\) и координатами вершин: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(D(0,a,0)\), \(A_1(0,0,a)\), \(B_1(a,0,a)\), \(C_1(a,a,a)\), \(D_1(0,a,a)\). Точки \(M\) и \(K\) лежат на отрезках \(B_1C\) и \(BD\) соответственно. По условию \(B_1M : MC = 2 : 1\), значит точка \(M\) делит отрезок \(B_1C\) в отношении 2 к 1, считая от \(B_1\). Используем формулу деления отрезка в отношении \(m:n\): координата точки \(M\) равна \(\frac{m \cdot C + n \cdot B_1}{m+n}\). Подставляя значения, получаем \(M = \frac{2 \cdot (a,a,0) + 1 \cdot (a,0,a)}{3} = \left(a, \frac{2a}{3}, \frac{a}{3}\right)\).

Точка \(K\) лежит на отрезке \(BD\), где \(BK : KD = 1 : 2\). Это значит, что \(K\) делит отрезок \(BD\) в отношении 1 к 2, считая от \(B\). Аналогично, координаты точки \(K\) найдём по формуле \(\frac{m \cdot D + n \cdot B}{m+n}\), где \(m=1\), \(n=2\). Подставляя, получаем \(K = \frac{1 \cdot (0,a,0) + 2 \cdot (a,0,0)}{3} = \left(\frac{2a}{3}, \frac{a}{3}, 0\right)\).

Теперь найдём вектор \(\overrightarrow{MK}\), вычитая координаты \(M\) из координат \(K\): \(\overrightarrow{MK} = \left(\frac{2a}{3} — a, \frac{a}{3} — \frac{2a}{3}, 0 — \frac{a}{3}\right) = \left(-\frac{a}{3}, -\frac{a}{3}, -\frac{a}{3}\right)\). Вектор \(\overrightarrow{AC_1}\) равен разности координат \(C_1\) и \(A\): \(\overrightarrow{AC_1} = (a,a,a)\). Видно, что \(\overrightarrow{MK} = -\frac{1}{3} \overrightarrow{AC_1}\), то есть векторы коллинеарны и направлены в противоположные стороны. Следовательно, прямые \(MK\) и \(AC_1\) параллельны.