ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.39 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основание равнобедренного треугольника равно 48 см, а его площадь — 432 см². Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} \times AE \times BH \).

Подставляем значения: \( 432 = \frac{1}{2} \times 48 \times BH \).

Находим высоту: \( BH = \frac{432 \times 2}{48} = 18 \).

Так как треугольник равнобедренный, высота делит основание пополам, значит \( OK = BH — BK = 8 \).

Площадь треугольника выражается формулой \( S = \frac{1}{2} \times AE \times BH \), где \( AE \) — основание, а \( BH \) — высота, опущенная на это основание. Подставляем известные значения: \( 432 = \frac{1}{2} \times 48 \times BH \). Умножаем обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби, получаем \( 864 = 48 \times BH \). Далее делим обе части на 48, что даёт \( BH = \frac{864}{48} = 18 \).

Так как треугольник равнобедренный, высота \( BH \) является также медианой, поэтому она делит основание \( AE \) пополам. Отсюда длина отрезка \( AK = KE = \frac{48}{2} = 24 \). Теперь можно найти боковую сторону \( AB \), используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике \( ABH \). По теореме: \( AB = \sqrt{BH^2 + AK^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \).

Полупериметр треугольника вычисляется как \( p = \frac{AB + BE + AE}{2} = \frac{30 + 30 + 48}{2} = \frac{108}{2} = 54 \). Радиус вписанной окружности \( r \) находится по формуле \( r = \frac{S}{p} = \frac{432}{54} = 8 \). Следовательно, радиус вписанной окружности равен 8.