ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.40 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Концы хорды делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 3 : 7. Найдите меньший вписанный угол, опирающийся на данную хорду.

Дуги относятся как 3 к 7, значит \(3x + 7x = 360\), откуда \(10x = 360\), \(x = 36\).

Меньшая дуга равна \(3x = 108\).

Вписанный угол равен половине дуги, значит угол равен \(\frac{108}{2} = 54\).

Ответ: 54.

Если хорда делит окружность на две дуги, и их градусные меры относятся как 3 к 7, то можно обозначить эти дуги как \(3x\) и \(7x\). Поскольку сумма всех дуг окружности равна \(360^\circ\), то составляем уравнение \(3x + 7x = 360\). Это даёт \(10x = 360\), откуда находим \(x = 36\).

Теперь можно вычислить конкретные значения дуг. Меньшая дуга будет равна \(3x = 3 \times 36 = 108^\circ\), а большая — \(7x = 7 \times 36 = 252^\circ\). Эти значения показывают, как именно хорда делит окружность на две части, одна из которых значительно меньше другой.

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равен половине дуги, на которую он опирается. Поскольку нам нужен меньший вписанный угол, он будет равен половине меньшей дуги, то есть \(\frac{108}{2} = 54^\circ\). Таким образом, искомый угол равен \(54^\circ\).