ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.41 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 5 см, а площадь основания относится к площади боковой грани как 3 : 7. Найдите высоту пирамиды.

Площадь основания \( S_{\text{осн}} = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{4} \).

Площадь боковой грани \( S_{\text{бок}} = \frac{7}{3} S_{\text{осн}} = \frac{175 \sqrt{3}}{12} \).

Высота боковой грани \( h_{\text{бок}} = \frac{2 S_{\text{бок}}}{5} = \frac{35 \sqrt{3}}{6} \).

Высота основания \( BO = \frac{5 \sqrt{3}}{2} \).

Высота пирамиды \( DO = \sqrt{\left(\frac{35 \sqrt{3}}{6}\right)^2 — \left(\frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)^2} = 10 \).

Площадь основания правильного треугольника со стороной 5 см вычисляется по формуле \( S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \). Подставляя \( a = 5 \), получаем \( S_{\text{осн}} = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{4} \) см². Это значение является ключевым для дальнейших вычислений, так как отношение площади основания к площади боковой грани задано.

Из условия следует, что отношение площадей равно \( \frac{3}{7} \), то есть \( \frac{S_{\text{осн}}}{S_{\text{бок}}} = \frac{3}{7} \). Отсюда площадь боковой грани равна \( S_{\text{бок}} = \frac{7}{3} S_{\text{осн}} = \frac{7}{3} \times \frac{25 \sqrt{3}}{4} = \frac{175 \sqrt{3}}{12} \) см². Площадь боковой грани — это площадь равнобедренного треугольника с основанием 5 см и неизвестной высотой, которую теперь можно найти.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, то есть \( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times 5 \times h_{\text{бок}} = \frac{5}{2} h_{\text{бок}} \). Выразим высоту боковой грани: \( h_{\text{бок}} = \frac{2 S_{\text{бок}}}{5} = \frac{2}{5} \times \frac{175 \sqrt{3}}{12} = \frac{35 \sqrt{3}}{6} \) см. Эта высота является длиной ребра боковой грани от вершины пирамиды до основания.

Высота правильного треугольника основания, то есть расстояние от центра основания до вершины, равна \( BO = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{5 \sqrt{3}}{2} \) см. В треугольнике, образованном вершиной пирамиды \( D \), центром основания \( O \) и вершиной основания \( B \), применяем теорему Пифагора: \( DB^2 = DO^2 + BO^2 \), где \( DB = h_{\text{бок}} \). Тогда высота пирамиды \( DO = \sqrt{h_{\text{бок}}^2 — BO^2} = \sqrt{\left(\frac{35 \sqrt{3}}{6}\right)^2 — \left(\frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)^2} \). Вычисляя, получаем \( DO = 10 \) см.