ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.5 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны векторы \(\vec{m} (1; 7; -8)\) и \(\vec{n} (3; -1; 6)\). Найдите координаты вектора \(\vec{a}\), если:

1) \(\vec{a} = -2\vec{m} + 5\vec{n}\);

2) \(\vec{a} = -\vec{m} — 6\vec{n}\).

Вектор \(\vec{a}\) находится по координатам:
1) \(\vec{a} = -2\vec{m} + 5\vec{n} = (-2 \cdot 1 + 5 \cdot 3;\; -2 \cdot 7 + 5 \cdot (-1);\; -2 \cdot (-8) + 5 \cdot 6) =\)
\(= (13;\; -19;\; 46)\)

2) \(\vec{a} = -\vec{m} — 6\vec{n} = (-1 \cdot 1 — 6 \cdot 3;\; -1 \cdot 7 — 6 \cdot (-1);\; -1 \cdot (-8) — 6 \cdot 6)=\)
\( = (-19;\; -1;\; -28)\)

Для вычисления координат вектора, выраженного через другие векторы, нужно каждую координату умножить на соответствующий коэффициент и сложить результаты по координатам. Пусть заданы векторы \(\vec{m} = (1;\;7;\;-8)\) и \(\vec{n} = (3;\;-1;\;6)\). Найдём вектор \(\vec{a}\) для двух случаев.

В первом случае требуется вычислить \(\vec{a} = -2\vec{m} + 5\vec{n}\). Это значит, что каждую координату вектора \(\vec{m}\) умножаем на \(-2\), а каждую координату вектора \(\vec{n}\) на \(5\), и складываем соответствующие координаты. Получаем: первая координата \(-2 \cdot 1 + 5 \cdot 3 = -2 + 15 = 13\), вторая координата \(-2 \cdot 7 + 5 \cdot (-1) = -14 — 5 = -19\), третья координата \(-2 \cdot (-8) + 5 \cdot 6 = 16 + 30 = 46\). Таким образом, \(\vec{a} = (13;\;-19;\;46)\).

Во втором случае требуется вычислить \(\vec{a} = -\vec{m} — 6\vec{n}\). Здесь каждую координату \(\vec{m}\) умножаем на \(-1\), а каждую координату \(\vec{n}\) на \(-6\), затем складываем. Первая координата: \(-1 \cdot 1 — 6 \cdot 3 = -1 — 18 = -19\), вторая координата: \(-1 \cdot 7 — 6 \cdot (-1) = -7 + 6 = -1\), третья координата: \(-1 \cdot (-8) — 6 \cdot 6 = 8 — 36 = -28\). Получаем \(\vec{a} = (-19;\;-1;\;-28)\).

Таким образом, чтобы найти координаты вектора, который выражен линейной комбинацией других векторов, нужно каждую координату этих векторов умножить на соответствующий коэффициент и сложить по правилам сложения векторов. В результате для первого случая \(\vec{a} = (13;\;-19;\;46)\), для второго случая \(\vec{a} = (-19;\;-1;\;-28)\).