ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.7 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите модуль вектора \(\vec{p} = 8\vec{a} — 9\vec{b}\), если \(\vec{a} (0,5; -0,5; 1,5)\), \(\vec{b} \left(\frac{1}{3}; -\frac{2}{9}; \frac{1}{9}\right)\).

Вектор \( \vec{p} = 8\vec{a} — 9\vec{b} \), где \( \vec{a}(0{,}5; -0{,}5; 1{,}5) \), \( \vec{b}\left(\frac{1}{3}; -\frac{2}{9}; \frac{1}{9}\right) \).
Находим координаты:
\( x: 8 \cdot 0{,}5 — 9 \cdot \frac{1}{3} = 4 — 3 = 1 \)
\( y: 8 \cdot (-0{,}5) — 9 \cdot \left(-\frac{2}{9}\right) = -4 + 2 = -2 \)
\( z: 8 \cdot 1{,}5 — 9 \cdot \frac{1}{9} = 12 — 1 = 11 \)
\( \vec{p}(1; -2; 11) \)

Модуль:
\( |\vec{p}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 11^2} = \sqrt{1 + 4 + 121} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14} \)

Для нахождения модуля вектора \( \vec{p} \), сначала определим его координаты. Вектор \( \vec{p} \) выражается как линейная комбинация двух других векторов: \( \vec{p} = 8\vec{a} — 9\vec{b} \), где \( \vec{a}(0{,}5; -0{,}5; 1{,}5) \), \( \vec{b}\left(\frac{1}{3}; -\frac{2}{9}; \frac{1}{9}\right) \). Подставляя значения, вычисляем каждую координату по отдельности. Для первой координаты: \( x = 8 \cdot 0{,}5 — 9 \cdot \frac{1}{3} = 4 — 3 = 1 \). Для второй координаты: \( y = 8 \cdot (-0{,}5) — 9 \cdot \left(-\frac{2}{9}\right) = -4 + 2 = -2 \). Для третьей координаты: \( z = 8 \cdot 1{,}5 — 9 \cdot \frac{1}{9} = 12 — 1 = 11 \). Таким образом, получаем вектор \( \vec{p}(1; -2; 11) \).

Далее необходимо найти модуль полученного вектора. Модуль вектора с координатами \( (x; y; z) \) находится по формуле \( |\vec{p}| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \). Подставляем вычисленные значения: \( |\vec{p}| = \sqrt{1^{2} + (-2)^{2} + 11^{2}} \). Вычисляем каждый квадрат: \( 1^{2} = 1 \), \( (-2)^{2} = 4 \), \( 11^{2} = 121 \). Складываем полученные значения: \( 1 + 4 + 121 = 126 \). Получаем: \( |\vec{p}| = \sqrt{126} \).

Преобразуем корень в более удобный вид. Заметим, что \( 126 = 9 \cdot 14 \), а значит, \( \sqrt{126} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{14} = 3\sqrt{14} \). Окончательный ответ: \( |\vec{p}| = 3\sqrt{14} \).