ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.8 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Коллинеарны ли векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\), если \(A (4; -1; -4)\), \(B (0; 5; 6)\), \(C (0; 2; 7)\), \(D (2; -1; 2)\)?

\(\overrightarrow{AB} = (-4; 6; 10)\), \(\overrightarrow{CD} = (2; -3; -5)\)

\(\frac{-4}{2} = \frac{6}{-3} = \frac{10}{-5} = -2\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) коллинеарны.

Сначала находим координаты векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\), вычисляя разности соответствующих координат точек. Для вектора \(\overrightarrow{AB}\): первая координата \(0 — 4 = -4\), вторая координата \(5 — (-1) = 6\), третья координата \(6 — (-4) = 10\). Получаем \(\overrightarrow{AB} = (-4; 6; 10)\). Для вектора \(\overrightarrow{CD}\): первая координата \(2 — 0 = 2\), вторая координата \(-1 — 2 = -3\), третья координата \(2 — 7 = -5\), то есть \(\overrightarrow{CD} = (2; -3; -5)\).

Далее проверяем, являются ли векторы коллинеарными, то есть существуют ли такие числа, чтобы все координаты одного вектора были пропорциональны соответствующим координатам другого. Для этого сравниваем отношения координат: \(\frac{-4}{2}\), \(\frac{6}{-3}\), \(\frac{10}{-5}\). Считаем: \(\frac{-4}{2} = -2\), \(\frac{6}{-3} = -2\), \(\frac{10}{-5} = -2\). Все три отношения равны \(-2\), значит, существует одно и то же число, на которое умножаются все координаты одного вектора, чтобы получить координаты другого.

Поскольку найдено одинаковое значение для всех трёх отношений, делаем вывод: векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) коллинеарны, то есть лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это записывается так: \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) коллинеарны.