ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 4.9 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Коллинеарны ли векторы \(\overrightarrow{DE}\) и \(\overrightarrow{FK}\), если \(D (2; -3; 4)\), \(E (-1; 6; 2)\), \(F (-2; 8; 6)\), \(K (-3; 11; 7)\)?

Координаты векторов: \(\overrightarrow{DE} = (-3; 9; -2)\), \(\overrightarrow{FK} = (-1; 3; 1)\).

Проверяем коллинеарность: \(\lambda = \frac{-3}{-1} = 3\), \(\lambda = \frac{9}{3} = 3\), \(\lambda = \frac{-2}{1} = -2\).

Так как значения \(\lambda\) не равны, векторы не коллинеарны.

Для начала найдём координаты векторов \(\overrightarrow{DE}\) и \(\overrightarrow{FK}\). Вектор \(\overrightarrow{DE}\) определяется как разность координат точки \(E\) и точки \(D\), то есть \(E — D\). Таким образом, \(\overrightarrow{DE} = (-1 — 2; 6 — (-3); 2 — 4) = (-3; 9; -2)\). Аналогично, вектор \(\overrightarrow{FK}\) равен \(K — F\), то есть \(\overrightarrow{FK} = (-3 — (-2); 11 — 8; 7 — 6) = (-1; 3; 1)\).

Чтобы проверить, коллинеарны ли эти векторы, нужно выяснить, существует ли такое число \(\lambda\), что каждый компонент вектора \(\overrightarrow{DE}\) равен соответствующему компоненту вектора \(\overrightarrow{FK}\), умноженному на \(\lambda\). Это означает, что \(\overrightarrow{DE} = \lambda \overrightarrow{FK}\), или по координатам: \(-3 = \lambda \cdot (-1)\), \(9 = \lambda \cdot 3\), \(-2 = \lambda \cdot 1\). Из первого уравнения получаем \(\lambda = \frac{-3}{-1} = 3\), из второго \(\lambda = \frac{9}{3} = 3\), а из третьего \(\lambda = \frac{-2}{1} = -2\).

Поскольку значения \(\lambda\) из разных уравнений не совпадают (3 и -2), это значит, что векторы не пропорциональны друг другу, а значит не лежат на одной прямой и не коллинеарны. Коллинеарность требует одинакового множителя \(\lambda\) для всех компонентов, чего здесь нет, поэтому ответ — векторы \(\overrightarrow{DE}\) и \(\overrightarrow{FK}\) не коллинеарны.