ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.1 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 5.6), точка \(O\) — центр грани \(ABCD\). Чему равен угол между векторами:

1) \(AC\) и \(AD\);

2) \(AC\) и \(CD\);

3) \(AC\) и \(BO\);

4) \(AD\) и \(AA_1\);

5) \(AA_1\) и \(BO\);

6) \(AA_1\) и \(CC_1\);

7) \(AA_1\) и \(B_1B\);

8) \(BO\) и \(CD\)?

1) Векторы \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{AD} \) лежат на грани куба, угол между диагональю и ребром равен \( \cos \alpha = \frac{|\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AD}|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \), значит угол \( \alpha = 45^\circ \).

2) Угол между \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{CD} \) — дополнительный к 45°, то есть \( 135^\circ \).

3) Вектор \( \overrightarrow{BO} \) перпендикулярен диагонали \( \overrightarrow{AC} \), угол \( 90^\circ \).

4) Вектор \( \overrightarrow{AD} \) горизонтален, \( \overrightarrow{AA_1} \) вертикален, угол \( 90^\circ \).

5) Угол между \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{BO} \) равен \( 135^\circ \) по вычислениям скалярного произведения.

6) Векторы \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{CC_1} \) параллельны и направлены в одну сторону, угол \( 0^\circ \).

7) Векторы \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{B_1B} \) противоположны, угол \( 180^\circ \).

8) Векторы \( \overrightarrow{BO} \) и \( \overrightarrow{CD} \) образуют угол \( 45^\circ \).

Вектор \( \overrightarrow{AC} \) является диагональю грани куба \( ABCD \). Если длина ребра куба равна 1, то длина диагонали \( \overrightarrow{AC} \) равна \( \sqrt{2} \). Вектор \( \overrightarrow{AD} \) — это ребро грани длиной 1. Чтобы найти угол между ними, используем формулу косинуса угла через скалярное произведение: \( \cos \alpha = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AD}|} \). Скалярное произведение равно 1, так как \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AC} \) имеют общую проекцию. Получаем \( \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \), значит угол \( \alpha = 45^\circ \).

Угол между векторами \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{CD} \) дополняет предыдущий до \( 180^\circ \), так как \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{CD} \) — смежные ребра грани, а \( \overrightarrow{AC} \) — диагональ. Следовательно, угол равен \( 135^\circ \). Вектор \( \overrightarrow{BO} \) направлен от вершины \( B \) к центру грани \( ABCD \). Центр грани — середина диагонали, поэтому \( \overrightarrow{BO} \) перпендикулярен диагонали \( \overrightarrow{AC} \), что даёт угол \( 90^\circ \).

Рассмотрим векторы \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA_1} \). Первый лежит в плоскости грани, второй направлен вертикально вверх вдоль ребра куба. Они взаимно перпендикулярны, угол между ними \( 90^\circ \). Векторы \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{BO} \) образуют угол \( 135^\circ \), что вычисляется через скалярное произведение и длины векторов. Векторы \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{CC_1} \) параллельны и направлены одинаково, значит угол между ними равен \( 0^\circ \). Векторы \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{B_1B} \) направлены противоположно, поэтому угол \( 180^\circ \). Векторы \( \overrightarrow{BO} \) и \( \overrightarrow{CD} \) образуют угол \( 45^\circ \), что следует из их координат и вычисления косинуса угла.