ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если:
1) \(\vec{a} = (4; -1; 6)\), \(\vec{b} = (-7; 2; 8)\);
2) \(\vec{a} = (1; -3; 9)\), \(\vec{b} = (-1; 3; 0)\).

Для первого случая скалярное произведение вычисляем по формуле \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \). Подставляем значения: \(4 \cdot (-7) + (-1) \cdot 2 + 6 \cdot 8 = -28 — 2 + 48 = 18\).

Для второго случая по той же формуле: \(1 \cdot (-1) + (-3) \cdot 3 + 9 \cdot 0 = -1 — 9 + 0 = -10\).

Скалярное произведение двух векторов \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \) и \( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \) определяется как сумма произведений соответствующих компонент: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \). Это число показывает, насколько векторы направлены в одну сторону, и используется во многих задачах, связанных с геометрией и физикой. Для первого примера подставим значения из векторов: \( \vec{a} = (4, -1, 6) \) и \( \vec{b} = (-7, 2, 8) \).

Вычислим каждое произведение отдельно: первая компонента \(4 \cdot (-7) = -28\), вторая \( (-1) \cdot 2 = -2 \), третья \(6 \cdot 8 = 48\). Затем сложим эти результаты: \( -28 — 2 + 48 \). Сначала складываем первые два слагаемых: \( -28 — 2 = -30 \), затем прибавляем третье: \( -30 + 48 = 18 \). Таким образом, скалярное произведение для первого случая равно \(18\).

Для второго случая векторы заданы как \( \vec{a} = (1, -3, 9) \) и \( \vec{b} = (-1, 3, 0) \). Используем ту же формулу: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-1) + (-3) \cdot 3 + 9 \cdot 0 \). Считаем по частям: \(1 \cdot (-1) = -1\), \((-3) \cdot 3 = -9\), \(9 \cdot 0 = 0\). Складываем: \( -1 — 9 + 0 = -10 \). Это и есть значение скалярного произведения для второго набора векторов.