ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны векторы \(\vec{m} = (3; -2; 4)\) и \(\vec{n} = (2; 2; 2)\). При каком значении \(z\) выполняется равенство \(\vec{m} \cdot \vec{n} = 18\)?

Скалярное произведение векторов \( \vec{m} = (3; -2; 4) \) и \( \vec{n} = (2; 2; z) \) равно \( 3 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 + 4 \cdot z = 6 — 4 + 4z = 2 + 4z \).

По условию \( 2 + 4z = 18 \).

Решаем уравнение: \( 4z = 16 \), откуда \( z = \frac{16}{4} = 4 \).

Для нахождения значения \( z \) рассмотрим скалярное произведение двух векторов \( \vec{m} = (3; -2; 4) \) и \( \vec{n} = (2; 2; z) \). Скалярное произведение определяется как сумма произведений соответствующих координат векторов. То есть, чтобы найти \( \vec{m} \cdot \vec{n} \), нужно перемножить первые координаты, вторые координаты и третьи координаты, а затем сложить полученные произведения.

Вычислим скалярное произведение: \( 3 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 + 4 \cdot z \). Первое произведение равно \( 6 \), второе — \( -4 \), третье — \( 4z \). Складывая эти значения, получаем выражение \( 6 — 4 + 4z \), что упрощается до \( 2 + 4z \). Таким образом, скалярное произведение зависит от неизвестного \( z \) и равно \( 2 + 4z \).

По условию задачи, скалярное произведение должно быть равно 18, то есть \( 2 + 4z = 18 \). Чтобы найти \( z \), нужно решить это уравнение. Вычитаем 2 из обеих частей: \( 4z = 18 — 2 \), что дает \( 4z = 16 \). Делим обе части на 4: \( z = \frac{16}{4} \), следовательно, \( z = 4 \). Это значение \( z \) удовлетворяет условию задачи.