ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Среди векторов \(\vec{a} = (1; 1; 2)\), \(\vec{b} = (1; 2; 1)\) и \(\vec{c} = (-5; 3; 1)\) укажите пару перпендикулярных векторов.

Вычислим скалярные произведения:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 5 \neq 0 \)

\( \vec{a} \cdot \vec{c} = 1 \cdot (-5) + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = -5 + 3 + 2 = 0 \)

\( \vec{b} \cdot \vec{c} = 1 \cdot (-5) + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 = 2 \neq 0 \)

Пара векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{c} \) перпендикулярна, так как их скалярное произведение равно нулю.

Для определения перпендикулярности векторов необходимо вычислить их скалярное произведение. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, значит они перпендикулярны. Рассмотрим три вектора \( \vec{a} = (1; 1; 2) \), \( \vec{b} = (1; 2; 1) \) и \( \vec{c} = (-5; 3; 1) \). Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле \( \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \).

Сначала вычислим скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \):
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 + 2 = 5 \).
Так как результат не равен нулю, эти векторы не перпендикулярны.

Теперь вычислим скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{c} \):
\( \vec{a} \cdot \vec{c} = 1 \cdot (-5) + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = -5 + 3 + 2 = 0 \).
Поскольку это произведение равно нулю, векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{c} \) перпендикулярны.

Для полноты проверим скалярное произведение векторов \( \vec{b} \) и \( \vec{c} \):
\( \vec{b} \cdot \vec{c} = 1 \cdot (-5) + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 = -5 + 6 + 1 = 2 \).
Этот результат не равен нулю, значит векторы \( \vec{b} \) и \( \vec{c} \) не перпендикулярны.

Таким образом, единственная пара перпендикулярных векторов — это \( \vec{a} \) и \( \vec{c} \), так как их скалярное произведение равно нулю.