ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(x\) векторы \(\vec{a} = (x; -x; 1)\) и \(\vec{b} = (x; 2; 1)\) перпендикулярны?

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение: \(x \cdot x + (-x) \cdot 2 + 1 \cdot 1 = x^2 — 2x + 1 = 0\).

Решаем уравнение: \((x — 1)^2 = 0\).

Получаем \(x = 1\).

Для того чтобы определить, при каком значении \(x\) векторы \(\vec{a} = (x; -x; 1)\) и \(\vec{b} = (x; 2; 1)\) будут перпендикулярны, нужно воспользоваться свойством скалярного произведения. Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение двух векторов \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) и \(\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)\) вычисляется по формуле \(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\).

Подставим компоненты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) в формулу скалярного произведения: \(x \cdot x + (-x) \cdot 2 + 1 \cdot 1\). Это выражение можно упростить до \(x^2 — 2x + 1\). Чтобы векторы были перпендикулярны, необходимо, чтобы это выражение было равно нулю, то есть \(x^2 — 2x + 1 = 0\).

Решим полученное квадратное уравнение. Его можно представить в виде полного квадрата: \((x — 1)^2 = 0\). Из этого следует, что единственное решение — \(x = 1\). Таким образом, при \(x = 1\) векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) будут перпендикулярны.