ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(p\) векторы \(\vec{a} = (p; -2; 1)\) и \(\vec{b} = (p; 1; -p)\) перпендикулярны?

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: \( p \cdot p + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-p) = 0 \).

Упрощаем: \( p^2 — 2 — p = 0 \).

Решаем квадратное уравнение \( p^2 — p — 2 = 0 \).

Дискриминант: \( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \).

Корни: \( p_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \), \( p_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \).

Ответ: \( p = -1 \) или \( p = 2 \).

Для того чтобы определить, при каких значениях \( p \) векторы \(\vec{a} = (p, -2, 1)\) и \(\vec{b} = (p, 1, -p)\) будут перпендикулярны, необходимо воспользоваться свойством скалярного произведения. Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение двух векторов \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) и \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\) вычисляется по формуле \( a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \).

Подставим координаты векторов в формулу скалярного произведения: \( p \cdot p + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-p) = 0 \). Это уравнение можно упростить, получив выражение \( p^2 — 2 — p = 0 \). Это квадратное уравнение относительно переменной \( p \), которое можно переписать в стандартном виде: \( p^2 — p — 2 = 0 \).

Для решения квадратного уравнения найдем дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \). Получаем \( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \). Корни уравнения находятся по формуле \( p = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), что даёт \( p_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \) и \( p_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \). Таким образом, векторы будут перпендикулярны при \( p = -1 \) или \( p = 2 \).