ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Ребро правильного тетраэдра \(DABC\) равно \(a\), точки \(M\), \(K\) и \(P\) — соответственно середины рёбер \(AB\), \(AD\) и \(CD\). Найдите скалярное произведение векторов:
1) \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{DC}\);
2) \(\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{DA}\);
3) \(\overrightarrow{PK} \cdot \overrightarrow{BC}\);
4) \(\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{PM}\).

1) В правильном тетраэдре угол между рёбрами \(AD\) и \(DC\) равен 120°, поэтому
\(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{DC} = a \cdot a \cdot \cos 120^\circ = -\frac{a^2}{2}\).

2) \(\overrightarrow{MK} = \frac{\overrightarrow{D} — \overrightarrow{B}}{2}\), \(\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{A} — \overrightarrow{D}\), значит
\(\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{DA} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{D} — \overrightarrow{B}) \cdot (\overrightarrow{A} — \overrightarrow{D}) = -\frac{a^2}{4}\).

3) \(\overrightarrow{PK} = \frac{\overrightarrow{C} — \overrightarrow{A}}{2}\), \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} — \overrightarrow{B}\), значит
\(\overrightarrow{PK} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{C} — \overrightarrow{A}) \cdot (\overrightarrow{C} — \overrightarrow{B}) = -\frac{a^2}{4}\).

4) \(\overrightarrow{PM} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} — \overrightarrow{A} — \overrightarrow{B}}{2}\), \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} — \overrightarrow{C}\), значит
\(\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{PM} = 0\).

Рассмотрим скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{DC}\). В правильном тетраэдре все рёбра равны и имеют длину \(a\). Угол между рёбрами, исходящими из одной вершины, равен \(\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\), а угол между рёбрами, не имеющими общей вершины, равен 120°. Векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{DC}\) исходят из разных точек, но угол между ними можно определить как 120°, поэтому скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними: \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{DC} = a \cdot a \cdot \cos 120^\circ = -\frac{a^{2}}{2}\).

Для вычисления \(\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{DA}\) нужно сначала выразить вектор \(\overrightarrow{MK}\). Точки \(M\) и \(K\) — середины рёбер \(AB\) и \(AD\), значит \(\overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2}\) и \(\overrightarrow{K} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{D}}{2}\). Тогда \(\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{K} — \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{D} — \overrightarrow{B}}{2}\). Вектор \(\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{A} — \overrightarrow{D}\). Скалярное произведение будет равно \(\frac{1}{2} (\overrightarrow{D} — \overrightarrow{B}) \cdot (\overrightarrow{A} — \overrightarrow{D})\). Используя свойства правильного тетраэдра и симметрию, получаем \(\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{DA} = -\frac{a^{2}}{4}\).

Для \(\overrightarrow{PK} \cdot \overrightarrow{BC}\) аналогично: точки \(P\) и \(K\) — середины рёбер \(CD\) и \(AD\), значит \(\overrightarrow{P} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2}\), \(\overrightarrow{K} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{D}}{2}\). Тогда \(\overrightarrow{PK} = \frac{\overrightarrow{C} — \overrightarrow{A}}{2}\), а \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} — \overrightarrow{B}\). Скалярное произведение равно \(\frac{1}{2} (\overrightarrow{C} — \overrightarrow{A}) \cdot (\overrightarrow{C} — \overrightarrow{B})\). По симметрии и свойствам правильного тетраэдра результат равен \(-\frac{a^{2}}{4}\).

Для \(\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{PM}\) точки \(P\) и \(M\) — середины рёбер \(CD\) и \(AB\), значит \(\overrightarrow{P} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2}\), \(\overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2}\), следовательно \(\overrightarrow{PM} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} — \overrightarrow{A} — \overrightarrow{B}}{2}\). Вектор \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} — \overrightarrow{C}\). Скалярное произведение \(\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{PM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{D} — \overrightarrow{C}) \cdot (\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} — \overrightarrow{A} — \overrightarrow{B})\). Раскрывая скалярное произведение и учитывая равенства и симметрию правильного тетраэдра, получаем результат равный нулю.