ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Ребро куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно \(a\), точки \(E\) и \(F\) — соответственно середины рёбер \(AB\) и \(AD\). Найдите скалярное произведение векторов:
1) \(\overrightarrow{AA_1} \cdot \overrightarrow{DC_1}\);
2) \(\overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{C_1D}\);
3) \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{C_1C}\);
4) \(\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{DC}\).

Рассмотрим координаты вершин куба с ребром \(a\). Векторы:
\(\overrightarrow{AA_1} = (0,0,a)\), \(\overrightarrow{DC_1} = (a,0,a)\),
\(\overrightarrow{AB_1} = (a,0,a)\), \(\overrightarrow{C_1D} = (-a,0,-a)\),
\(\overrightarrow{BA} = (-a,0,0)\), \(\overrightarrow{C_1C} = (0,0,-a)\),
точки \(E\) и \(F\) середины рёбер:
\(E = \left(\frac{a}{2},0,0\right)\), \(F = \left(0,\frac{a}{2},0\right)\),
\(\overrightarrow{EF} = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)\), \(\overrightarrow{DC} = (a,0,0)\).

1) Скалярное произведение
\(\overrightarrow{AA_1} \cdot \overrightarrow{DC_1} = 0 \cdot a + 0 \cdot 0 + a \cdot a = a^2\).

2) Скалярное произведение
\(\overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{C_1D} = a \cdot (-a) + 0 \cdot 0 + a \cdot (-a) = -2a^2\).

3) Скалярное произведение
\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{C_1C} = (-a) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot (-a) = 0\).

4) Скалярное произведение
\(\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{DC} = -\frac{a}{2} \cdot a + \frac{a}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 0 = -\frac{a^2}{2}\).

Для удобства вычислений зададим координаты вершин куба с ребром \(a\) в трехмерном пространстве. Пусть вершина \(A\) находится в начале координат, тогда \(A = (0,0,0)\). Ребро \(AB\) расположено вдоль оси \(x\), значит \(B = (a,0,0)\). Ребро \(AD\) расположено вдоль оси \(y\), значит \(D = (0,a,0)\). Верхняя грань куба параллельна нижней, поэтому \(A_1 = (0,0,a)\), \(B_1 = (a,0,a)\), \(C_1 = (a,a,a)\), \(D_1 = (0,a,a)\). Точки \(E\) и \(F\) — середины рёбер \(AB\) и \(AD\), соответственно, значит \(E = \left(\frac{a}{2},0,0\right)\), \(F = \left(0,\frac{a}{2},0\right)\).

Рассчитаем векторы для каждого случая. Вектор \(\overrightarrow{AA_1}\) направлен вдоль оси \(z\) и равен \(A_1 — A = (0,0,a)\). Вектор \(\overrightarrow{DC_1}\) направлен из точки \(D = (0,a,0)\) в точку \(C_1 = (a,a,a)\), значит \(\overrightarrow{DC_1} = (a — 0, a — a, a — 0) = (a,0,a)\). Скалярное произведение двух векторов вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, то есть \(\overrightarrow{AA_1} \cdot \overrightarrow{DC_1} = 0 \cdot a + 0 \cdot 0 + a \cdot a = a^2\).

Для второго случая вектор \(\overrightarrow{AB_1} = B_1 — A = (a,0,a)\), а вектор \(\overrightarrow{C_1D} = D — C_1 = (0 — a, a — a, 0 — a) = (-a,0,-a)\). Их скалярное произведение равно \(a \cdot (-a) + 0 \cdot 0 + a \cdot (-a) = -a^2 + 0 — a^2 = -2a^2\). В третьем случае \(\overrightarrow{BA} = A — B = (-a,0,0)\), а \(\overrightarrow{C_1C} = C — C_1 = (a — a, a — a, 0 — a) = (0,0,-a)\). Их скалярное произведение: \(-a \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot (-a) = 0\).

Наконец, для четвёртого случая \(\overrightarrow{EF} = F — E = \left(0 — \frac{a}{2}, \frac{a}{2} — 0, 0 — 0\right) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)\), а \(\overrightarrow{DC} = C — D = (a — 0, a — a, 0 — 0) = (a,0,0)\). Их скалярное произведение: \(-\frac{a}{2} \cdot a + \frac{a}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 0 = -\frac{a^2}{2}\). Таким образом, все вычисления скалярных произведений основаны на координатном методе и свойстве скалярного произведения, которое равняется сумме произведений соответствующих координат векторов.