ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Ребро правильного тетраэдра \(DABC\) равно \(a\), точка \(M\) — середина ребра \(AB\). Найдите скалярное произведение векторов:

1) \(\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{DC}\);

2) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}\).

Точка \(M\) — середина ребра \(AB\), значит \(M = \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)\).

Вектор \(\overrightarrow{CM} = M — C = \left(0, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)\).

Вектор \(\overrightarrow{DC} = C — D = \left(0, \frac{a}{\sqrt{3}}, -\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)\).

Скалярное произведение \(\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{DC} = 0 \cdot 0 + \left(-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} + 0 \cdot \left(-\frac{a\sqrt{6}}{3}\right) = -\frac{a^2}{2}\).

Вектор \(\overrightarrow{AB} = (a, 0, 0)\).

Вектор \(\overrightarrow{CD} = D — C = \left(0, -\frac{a}{\sqrt{3}}, \frac{a\sqrt{6}}{3}\right)\).

Скалярное произведение \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = a \cdot 0 + 0 \cdot \left(-\frac{a}{\sqrt{3}}\right) + 0 \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = 0\).

Ответ:
1) \(\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{DC} = -\frac{a^2}{2}\)
2) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0\)

Точка \(M\) — середина ребра \(AB\), значит её координаты находятся как среднее арифметическое координат точек \(A\) и \(B\). Если принять \(A = (0,0,0)\), а \(B = (a,0,0)\), то \(M = \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)\). Это важно, так как позволяет выразить вектор \(\overrightarrow{CM}\) через координаты точки \(C\) и \(M\).

Вектор \(\overrightarrow{CM}\) вычисляется как разность координат \(M\) и \(C\). Точка \(C\) в правильном треугольнике \(ABC\) имеет координаты \(\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)\). Следовательно, \(\overrightarrow{CM} = \left(\frac{a}{2} — \frac{a}{2}, 0 — \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0 — 0\right) = \left(0, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)\). Аналогично, вектор \(\overrightarrow{DC}\) равен \(C — D\), где \(D\) — вершина тетраэдра с координатами \(\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{3}}, \frac{a\sqrt{6}}{3}\right)\). Тогда \(\overrightarrow{DC} = \left(0, \frac{a\sqrt{3}}{2} — \frac{a}{2\sqrt{3}}, 0 — \frac{a\sqrt{6}}{3}\right)\). Упрощая вторую координату, получаем \(\frac{a}{\sqrt{3}}\), значит \(\overrightarrow{DC} = \left(0, \frac{a}{\sqrt{3}}, -\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)\).

Скалярное произведение двух векторов вычисляется как сумма произведений соответствующих координат. Для \(\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{DC}\) это будет \(0 \cdot 0 + \left(-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} + 0 \cdot \left(-\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)\). Умножая, сокращаем \(\sqrt{3}\) и получаем \(-\frac{a^2}{2}\). Это значение показывает, что векторы направлены под углом, дающим отрицательное скалярное произведение, то есть угол между ними больше 90 градусов.

Для второго скалярного произведения сначала находим вектор \(\overrightarrow{AB} = B — A = (a, 0, 0)\). Вектор \(\overrightarrow{CD} = D — C = \left(0, -\frac{a}{\sqrt{3}}, \frac{a\sqrt{6}}{3}\right)\). Скалярное произведение \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}\) равно \(a \cdot 0 + 0 \cdot \left(-\frac{a}{\sqrt{3}}\right) + 0 \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = 0\). Это означает, что векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) перпендикулярны друг другу.

Ответ:
1) \(\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{DC} = -\frac{a^2}{2}\)
2) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0\)