ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Каждое ребро правильной пирамиды \(MABCD\) равно \(a\). Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{AC}\).

В правильной пирамиде все ребра равны \(a\). Векторы \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{AC}\) имеют длину \(a\).

Скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними. Угол между ребрами \(AM\) и \(AC\) равен 0, так как они совпадают по направлению.

Следовательно, \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = | \overrightarrow{AM} | \cdot | \overrightarrow{AC} | \cdot \cos 0 = a \cdot a \cdot 1 = a^2\).

В правильной пирамиде \(MABCD\) все ребра равны \(a\), что означает, что длины всех отрезков между вершинами, включая боковые ребра и ребра основания, одинаковы и равны \(a\). Точки \(A, B, C, D\) лежат в основании, которое является правильным многоугольником, в данном случае квадратом. Вектор \(\overrightarrow{AM}\) направлен от вершины \(A\) к вершине \(M\), которая находится над основанием, а вектор \(\overrightarrow{AC}\) лежит в плоскости основания и направлен от \(A\) к \(C\).

Для нахождения скалярного произведения векторов \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{AC}\) нужно знать их длины и угол между ними. Длины векторов равны длинам соответствующих ребер пирамиды, то есть \(|\overrightarrow{AM}| = a\) и \(|\overrightarrow{AC}| = a\). Угол между этими векторами равен углу между боковым ребром \(AM\) и диагональю основания \(AC\). В правильной пирамиде боковые ребра равны ребрам основания, а вершина \(M\) расположена таким образом, что угол между \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{AC}\) равен 0 градусов, так как они совпадают по направлению или лежат на одной прямой.

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AM}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos \theta\), где \(\theta\) — угол между векторами. Подставляя известные значения, получаем \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = a \cdot a \cdot \cos 0 = a^{2} \cdot 1 = a^{2}\). Таким образом, скалярное произведение равно \(a^{2}\).