ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите угол между векторами \(\vec{m} = \vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{n} = \vec{a} — 2\vec{b}\), если \(|\vec{a}| = \sqrt{2}\), \(|\vec{b}| = 2\), \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ\).

Вычисляем скалярное произведение векторов \( \vec{m} = \vec{a} + \vec{b} \) и \( \vec{n} = \vec{a} — 2\vec{b} \):

\( \vec{m} \cdot \vec{n} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} — 2\vec{b}) = |\vec{a}|^2 — \vec{a} \cdot \vec{b} — 2|\vec{b}|^2 \).

Подставляем данные: \( |\vec{a}| = \sqrt{2} \), \( |\vec{b}| = 2 \), \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos 135^\circ = \sqrt{2} \times 2 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -2 \).

Получаем: \( \vec{m} \cdot \vec{n} = 2 + 2 — 8 = -4 \).

Длины векторов:

\( |\vec{m}|^2 = 2 + 2 \times (-2) + 4 = 2 \),

\( |\vec{n}|^2 = 2 — 4 \times (-2) + 16 = 26 \).

Косинус угла между векторами:

\( \cos \theta = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|} = \frac{-4}{\sqrt{2} \sqrt{26}} = -\frac{2}{\sqrt{13}} \).

Угол:

\( \theta = 180^\circ — \arccos \frac{2\sqrt{13}}{13} \).

Для начала вычислим скалярное произведение векторов \( \vec{m} = \vec{a} + \vec{b} \) и \( \vec{n} = \vec{a} — 2\vec{b} \). Раскроем скобки в выражении \( \vec{m} \cdot \vec{n} \), используя свойства скалярного произведения: \( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} — 2\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} — 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} — 2 \vec{b} \cdot \vec{b} \). Поскольку скалярное произведение коммутативно, то есть \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \), упростим выражение до \( |\vec{a}|^{2} — \vec{a} \cdot \vec{b} — 2 |\vec{b}|^{2} \).

Далее подставим известные значения. Длина вектора \( \vec{a} \) равна \( \sqrt{2} \), значит \( |\vec{a}|^{2} = 2 \). Длина вектора \( \vec{b} \) равна 2, следовательно \( |\vec{b}|^{2} = 4 \). Чтобы найти \( \vec{a} \cdot \vec{b} \), воспользуемся формулой скалярного произведения через длины и угол между векторами: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos 135^\circ \). Значение \( \cos 135^\circ \) равно \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \), поэтому вычисляем \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2} \times 2 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -2 \).

Подставляя эти значения в формулу для скалярного произведения, получаем \( \vec{m} \cdot \vec{n} = 2 — (-2) — 2 \times 4 = 2 + 2 — 8 = -4 \). Следующий шаг — найти длины векторов \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \). Для \( \vec{m} \) вычисляем квадрат длины по формуле \( |\vec{m}|^{2} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^{2} = 2 + 2 \times (-2) + 4 = 2 \). Аналогично для \( \vec{n} \) имеем \( |\vec{n}|^{2} = (\vec{a} — 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} — 2\vec{b}) = |\vec{a}|^{2} — 4 \vec{a} \cdot \vec{b} + 4 |\vec{b}|^{2} = 2 — 4 \times (-2) + 16 = 26 \).

Теперь найдем косинус угла между векторами \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) по формуле \( \cos \theta = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| |\vec{n}|} \). Подставляя значения, получаем \( \cos \theta = \frac{-4}{\sqrt{2} \times \sqrt{26}} = \frac{-4}{\sqrt{52}} = \frac{-4}{2 \sqrt{13}} = -\frac{2}{\sqrt{13}} \). Для нахождения самого угла вычисляем \( \theta = 180^\circ — \arccos \frac{2 \sqrt{13}}{13} \), так как косинус отрицательный, угол находится во второй четверти.