ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите угол между векторами \(\vec{a} = \vec{m} — \vec{n}\) и \(\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n}\), если \(|\vec{m}| = 1\), \(|\vec{n}| = \sqrt{3}\), \(\angle(\vec{m}, \vec{n}) = 30^\circ\)

Для нахождения угла между векторами \(\vec{a} = \vec{m} — \vec{n}\) и \(\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n}\) вычислим их скалярное произведение:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{m}|^2 + (\vec{m} \cdot \vec{n}) — 2 |\vec{n}|^2\).

Подставляем данные: \(|\vec{m}| = 1\), \(|\vec{n}| = \sqrt{3}\), \(\vec{m} \cdot \vec{n} = 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ = \frac{3}{2}\).

Получаем:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 + \frac{3}{2} — 2 \cdot 3 = -\frac{7}{2}\).

Длины векторов:

\(|\vec{a}| = \sqrt{1 + 3 — 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ} = 1\),

\(|\vec{b}| = \sqrt{1 + 4 \cdot 3 + 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ} = \sqrt{19}\).

Угол \(\theta\) между векторами:

\(\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = -\frac{7}{2 \sqrt{19}}\).

Следовательно,

\(\theta = 180^\circ — \arccos \frac{7 \sqrt{19}}{38}\).

Для того чтобы найти угол между векторами \(\vec{a} = \vec{m} — \vec{n}\) и \(\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n}\), сначала необходимо вычислить их скалярное произведение. Напомним, что скалярное произведение двух векторов \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) определяется формулой \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta\), где \(\theta\) — угол между этими векторами. Таким образом, если мы найдем скалярное произведение и длины векторов, то сможем выразить \(\cos \theta\) и затем найти сам угол \(\theta\).

Рассмотрим скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\). Подставим выражения для \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{m} — \vec{n}) \cdot (\vec{m} + 2\vec{n}) = \vec{m} \cdot \vec{m} + 2 \vec{m} \cdot \vec{n} — \vec{n} \cdot \vec{m} — 2 \vec{n} \cdot \vec{n}\).

Поскольку скалярное произведение коммутативно, то есть \(\vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m}\), можно упростить выражение:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{m}|^{2} + 2 (\vec{m} \cdot \vec{n}) — (\vec{m} \cdot \vec{n}) — 2 |\vec{n}|^{2} = |\vec{m}|^{2} + (\vec{m} \cdot \vec{n}) — 2 |\vec{n}|^{2}\).

Теперь подставим известные значения: длина вектора \(\vec{m}\) равна 1, длина вектора \(\vec{n}\) равна \(\sqrt{3}\), а скалярное произведение \(\vec{m} \cdot \vec{n}\) вычислим через формулу:

\(\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| |\vec{n}| \cos 30^\circ = 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}\).

Подставляя эти значения в выражение для \(\vec{a} \cdot \vec{b}\), получаем:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1^{2} + \frac{3}{2} — 2 \cdot 3 = 1 + \frac{3}{2} — 6 = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} — \frac{12}{2} = -\frac{7}{2}\).

Следующий шаг — вычислить длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Для вектора \(\vec{a} = \vec{m} — \vec{n}\) длина находится по формуле:

\(|\vec{a}| = \sqrt{|\vec{m}|^{2} + |\vec{n}|^{2} — 2 |\vec{m}| |\vec{n}| \cos 30^\circ}\).

Подставляя значения:

\(|\vec{a}| = \sqrt{1 + 3 — 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{4 — 3} = 1\).

Для вектора \(\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n}\) длина рассчитывается по формуле:

\(|\vec{b}| = \sqrt{|\vec{m}|^{2} + 4 |\vec{n}|^{2} + 4 |\vec{m}| |\vec{n}| \cos 30^\circ}\).

Подставим известные значения:

\(|\vec{b}| = \sqrt{1 + 4 \cdot 3 + 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{1 + 12 + 6} = \sqrt{19}\).

Теперь, зная скалярное произведение и длины векторов, выразим косинус угла \(\theta\):

\(\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-\frac{7}{2}}{1 \cdot \sqrt{19}} = -\frac{7}{2 \sqrt{19}}\).

Чтобы получить сам угол \(\theta\), возьмём арккосинус:

\(\theta = \arccos \left(-\frac{7}{2 \sqrt{19}}\right)\).

Поскольку косинус отрицателен, угол \(\theta\) больше 90°, и его можно записать как

\(\theta = 180^\circ — \arccos \frac{7 \sqrt{19}}{38}\).

Таким образом, угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен \(180^\circ — \arccos \frac{7 \sqrt{19}}{38}\).